Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля

Основные теоретические сведения

1. Частной производной первого порядка функции двух переменных по аргументу называется предел

.

Обозначение: , . Нахождение сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента

2. Скалярным полем называется скалярная функция точки вместе с областью ее определения.

Скалярное поле характеризуется градиентом

и производной по направлению :

,

где – координаты единичного вектора направления .

3. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области , сводится к вычислению двукратного интеграла вида

, (1)

где область определяется условиями , или вида

, (2)

если область определяется условиями , .

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования.

4. Векторным полем называется векторная функция точки :

.

Векторное поле характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:

и векторной величиной – ротором:

.

Векторное поле называется соленоидальным, если в каждой точке этой области .

Векторное поле называется потенциальным в области , если в каждой этой области .

Для потенциального векторного поля справедлива формула для нахождения потенциальной функции

,

где – фиксированная точка области , – любая точка области – произвольная постоянная.

Потоком векторного поля через двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл

, (3)

где – единичный вектор нормали вдоль , . Если поверхность задается уравнением , то

,

причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор к выбранной стороне поверхности.

Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность на одну из координатных плоскостей. Пусть, например, взаимно однозначно проектируется на , тогда

.

Если взаимно однозначно проектируется на или , то

или .

Иногда вычисление потока проводят методом проектирования на все три координатные плоскости :

,

каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования на соответствующую координатную плоскость.

Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцию поля :

.

5. Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл

,

где .

6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля и его ротором:

,

где – поверхность, ограниченная замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .

Пример 1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Приравнивая частные производные нулю, можно на и сократить, так как внутри треугольника , тогда

.

Решение этой системы: . Стационарная точка лежит внутри треугольника, . На сторонах треугольника и значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне . На ней и

.

Стационарные точки находим из уравнения .

.

(т.к. х = 0 – граничная точка).

.

На концах интервала .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:

в точке на стороне в точке (4, 2).

Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение функция принимает внутри треугольника в точке ; наименьшее значение z = - 128 – границе, в точке (4, 2).

Пример 2.Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M₀:

.

Тогда в точке имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M₀ достигается в направлении :

.

Пример 3.Вычислим работу силы вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

.

Тогда работа А силы на пути АВ вычисляется по формуле

.

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости (р) с координатными плоскостями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.

1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле:

.

На отрезке АВ имеем:

.

,

На отрезке ВС: ,

,

На отрезке СА: ,

,

Следовательно, .

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса.

Для этого вычислим:

.

В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды ОАВС:

.

По формуле Стокса имеем:

,

где .

Следовательно,

.

131. Дана функция . Показать, что

132. Дана функция . Показать, что

133. Дана функция . Показать, что

134. Дана функция . Показать, что

135. Дана функция . Показать, что

136. Дана функция . Показать, что

137. Дана функция . Показать, что

138. Дана функция . Показать, что

139. Дана функция . Показать, что

140. Дана функция . Показать, что

В задачах 141 – 150 найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной замкнутой области.

141. в треугольнике, ограниченном прямыми .

142. в треугольнике, ограниченном прямыми .

143. в квадрате .

144. в треугольнике, ограниченном прямыми .

145. в треугольнике, ограниченном прямыми .

146. в прямоугольнике .

147. в квадрате .

148. в области, ограниченной линиями .

149. в квадрате .

150. в области, ограниченной линиями , , .

В задачах 151 – 160 найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.

В задачах 161 – 170 требуется: 1) построить на плоскости область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования.

161.		162.
163.		164.
165.		166.
167.		168.
169.		170.

В задачах 171 – 180 найти работу силы при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N.

171.		172.
173.		174.
175.		176.
177.		178.
179.		180.

В задачах 181 – 190 даны векторное поле и плоскость , которая с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости ; – контур, ограничивающий ; – нормаль к , направленная вне пирамиды . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля через поверхность в направлении нормали ; 2) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского; 3) вычислить циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью . Сделать чертеж.

181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.

В задачах 191– 200 проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.

Контрольная работа №4