Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа

Основные теоретические сведения

1. Определителем -го порядка называется число , записываемое в виде квадратичной таблицы

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам , которые называются элементами определителя. Индекс указывает номер строки, а – номер столбца квадратной таблицы.

Минором элемента называется определитель порядка, получаемый из определителя -го порядка, вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством

.

Рекуррентная формула для вычисления определителя -го порядка имеет вид

(разложение определителя по элементам -й строки).

2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

,

где – угол между векторами и .

3. Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет условиям:

1) , ;

2) ;

3) – правая тройка векторов;

– формула для вычисления площади треугольника.

4. Смешанное произведение трех векторов , , есть число, равное

.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.

5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь , – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа ; и – модуль и аргумент числа :

; .

Извлечение корня -ой степени ( – натуральное число) из числа производится по формуле

,

где .

Пример 1.Дана система линейных алгебраических уравнений:

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.

Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим

~ ~ .

Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.

а) Находим решение системы по формулам Крамера

где

б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~ ~

Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:

Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:

в) Матричный метод. Так как det A = -16 ¹0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А^-1, определяемая по формуле:

где являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:

Тогда данную систему можно записать в матричной форме: , отсюда находим - решение системы в матричной форме.

Решение системы:

таким образом,

Пример 2.Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения а и с, найдем в²=16. Искомое уравнение эллипса:

.

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство и учитывая, что , находим а² = 16. Искомое уравнение гиперболы:

.

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y²=2px, а уравнение ее директрисы . По условию x=-3, следовательно, , уравнение параболы имеет вид .

Пример 3.Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2,1,0), B(3,-1,2), C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань АВС.

1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:

,

где

.

;

.

2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:

.

Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:

Разложив определитель по элементам первой строки, получим:

,

отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:

.

3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:

,

где - направляющий вектор ребра AD, - нормальный вектор грани АВС.

.

4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:

.

.

.

.

Окончательно имеем

5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:

.

.

Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).

6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле

,

где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки D, - координаты направляющего вектора прямой DM. Т.к. DM ^ АВС, то в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор . Уравнение прямой Dm запишется в виде:

.

В задачах 1 – 10 данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления.

В задачах 11 – 20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

В задачах 21 – 30 составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; e - эксцентриситет; y = ± kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

21.	а) в = 15,	F (-10,0);	б) а = 13,		в)
22.	а) в = 2,	F (4√2;0);	б) а = 7,		в)
23.	а) А (3;0),		б)		в)
24.	а) а = 4,	F (3,0);	б)	F (-11,0);	в)
25.	а) а = 6,	F (-4,0);	б) в = 3,	F (7,0);	в)
26.	а) в = 7,	F (5,0);	б) а = 11,		в)
27.	а)	А (0;8);	б)		в)
28.	а) в = 5,		б)	2а = 6;	в) ось симметрии Oy и А (-9;6);
29.	а) в = 5,	F (-10,0);	б) а = 9,		в)
30.	а) 2а = 22,		б)	2с = 12;	в) ось симметрии Ox и А (-7;5);

В задачах 31 – 40 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости ABC; 3) угол между ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.

В задачах 41 – 50 задана линия в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.

В задачах 51 – 60 дано комплексное число Z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) найти все корни уравнения

51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.

Контрольная работа №2

Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

Основные теоретические сведения

1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;

7) построить график функции.

2. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) .	2) .	3) .
4) .	5) .	6) .

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

4. Таблица простейших интегралов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

5. Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид

,

если и первообразная непрерывна на отрезке .

Пример 1.Найти указанные пределы.

а)		б)
в)		г)

Решение:

а)

б) в)

г)

Пример 2.Исследовать функцию на непрерывность в точках , .

Решение: для точки x₁ = 3 имеем:

точка – точка разрыва II

При функция определена, следовательно не является точкой разрыва, .

Пример 3.Найти производную функции .

Решение.Логарифмируя данную функцию, получаем:

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х:

.

Отсюда

.

Далее

.

Окончательно имеем:

.

Пример 4.Найти производную функции y, если .

Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая функцией от :

.

Отсюда находим

.

Пример 5.Вычисляем .

Решение.

Пример 6.Вычислить .

Решение. Интеграл вычисляется по формуле интегрирования по частям: .

.

Делаем замену переменной:

.

получим:

.

Пример 7.Вычислить: .

Решение.

Пример 8.Вычислить: .

Решение.

.

Делая замену переменной:

.

получаем:

.

В задачах 61 – 70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

61.	а)		б)
	в)		г)
62.	а)		б)
	в)		г)
63.	а)		б)
	в)		г)
64.	а)		б)
	в)		г)
65.	а)		б)
	в)		г)
66.	а)		б)
	в)		г)
67.	а)		б)
	в)		г)
68.	а)		б)
	в)		г)
69.	а)		б)
	в)		г)
70.	а)		б)
	в)		г)

В задачах 71 – 80 даны функции и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние приделы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.

71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.

В задачах 81 – 90 найти производные данных функции.

81.	а)		б)
	в)		г)
	д)
82.	а)		б)
	в)		г)
	д)
83.	а)		б)
	в)		г)
	д)
84.	а)		б)
	в)		г)
	д)
85.	а)		б)
	в)		г)
	д)
86.	а)		б)
	в)		г)
	д)
87.	а)		б)
	в)		г)
	д)
88.	а)		б)
	в)		г)
	д)
89.	а)		б)
	в)		г)
	д)
90.	а)		б)
	в)		г)
	д)

В задачах 91 – 100 исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

В задачах 101 – 110 найти неопределенные интегралы.

101.	а)		б)
	в)		г)
102.	а)		б)
	в)		г)
103.	а)		б)
	в)		г)
104.	а)		б)
	в)		г)
105.	а)		б)
	в)		г)
106.	а)		б)
	в)		г)
107.	а)		б)
	в)		г)
108.	а)		б)
	в)		г)
109.	а)		б)
	в)		г)
110.	а)		б)
	в)		г)

В задачах 111 – 120 вычислить определенный интеграл.

111.		112.
		114.
115.		116.
117.		118.
119.		120.

В задачах 121 – 130 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

121.		122.
123.		124.
125.		126.
127.		128.
129.		130.

Контрольная работа №3