Теория вероятностей и математическая статистика

Основные теоретические сведения

1. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

2. Дифференциальное уравнение называется однородным относительно переменных и , если – однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . данное уравнение с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

4. Уравнение вида

, (1)

где и – постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением.

Если корни , характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой

.

Если , то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле

.

Если , то общее решение уравнения (1) находится по формуле

.

5. Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если не является корнем характеристического уравнения;

2) , если является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

(3)

называется степенным рядом, – коэффициенты ряда. Число называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при и расходится при .

При ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье вычисляем по формулам ,

, .

Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде . Требуется определить постоянные К₁, К₂ и λ так, чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, – корни характеристического уравнения.

Корню соответствует система

или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

.

Корню соответствует система

или .

Получаем , тогда . Получим решение системы:

.

Общее решение исходной системы имеет вид

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

.

Так как

,

то

.

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При имеем , данный ряд расходится.

При имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 3. Вычислить с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение.Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

,

,

так как

,

.

.

В задачах 201 – 210 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

201.		202.
203.		204.
205.		206.
207.		208.
209.		210.

В задачах 211 – 220 найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

211.		212.
213.		214.
215.		216.
217.		218.
219.		220.

В задачах 221 – 230 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.

В задачах 231 – 240 найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям, двумя способами: а) с помощью характеристического уравнения; б) методом операционного исчисления.

231.		232.
233.		234.
235.		236.
237.		238.
239.		240.

В задачах 241 – 250 исследовать сходимость числового ряда.

241.		242.
243.		244.
245.		246.
247.		248.
249.		250.

В задачах 251 – 260 найти область сходимости степенного ряда .

251.		252.
253.		254.
255.		256.
257.		258.
259.		260.

В задачах 261 – 270 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования данного ряда.

261.		262.
263.		264.
265.		266.
267.		268.
269.		270.

В задачах 271 – 280 найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

271.			272.
273.			274.
275.			276.
277.			278.
279.			280.

В задачах 281 – 290 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале – периоде.

281.		в интервале
282.		в интервале
283.	,	при при
284.		при при
285.		при при
286.		при при
287.		в интервале
288.	,	при при
289.		в интервале
290.		в интервале

291. Электролампы изготовляются на 3 заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второй – 80%, третий – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется стандартной.

292. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов, работающих независимо, выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.

293. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равно 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

294. Электрическая схема состоит из трех блоков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что каждый из них работает исправно, соответственно равна р₁=0,8, р₂=0,4, р₃=0,7. Схема годна к эксплуатации при наличии двух исправных блоков из трех. Определить вероятность того, что схема будет работать.

295. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом №1 и 4 детали – заводом №2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом №1.

296. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 600 случайно отобранных деталей окажется 4 бракованных.

297. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

298. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.

299.При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760?

300. Имеются три машины, которые изготавливают соответственно 35%, 20% и 45% некоторых однотипных деталей. Причем первая машина дает 6% брака, вторая – 4%, третья – 2%. Случайно выбранное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первой машине.

В задачах 301 – 305 задан закон распределения случайной величины (в первой строке таблицы даны возможные значения величины , а во второй строке указаны вероятности этих возможных значений). Найти: 1) математическое ожидание ; 2) дисперсию ; 3) среднее квадратическое отклонение .

301.		302.
303.		304.
305.

В задачах 306 – 310 задана случайная величина функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

306.		307.
308.		309.
310.

В задачах 311 – 320 найти методом произведений: а) выборочную среднее ; б) выборочную дисперсию ; в) выборочное средне квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки. Построить полигон частот данного признака .

311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.