КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

Под вероятностью, в широком смысле, понимают количественную меру неопределенности. Это – число, которое выражает степень уверенности наступления того или иного случайного события.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный».

Мы определим испытание (опыт, эксперимент) как процесс, включающий определенные условия, которые приводят к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное.Другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на Землю в силу действия закона притяжения, то есть результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом W.

Невозможное событие – это событие , которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное событие. Невозможное событие обозначим Æ.

Совместные события. Несколько событий, называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появление других. Например, в магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «в магазин вошла женщина» - совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.

Несовместные события. Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет).

Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней – события равновозможные.

Противоположные события. Два единственно возможных события называются противоположными : если А – событие, то - противоположное ему событие. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементов исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов через N ,тогда

(2.1)

где М – целое неотрицательное число, 0£ М£ N

Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) проявления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течении времени провела опрос 1000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1000=0,02. В этом примере 20- это частота наступления события, а 20/1000=0,02 – это относительная частота.

Относительной частотой события называется отношение числа

испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п. , (2.2)

где т – целое неотрицательное число, 0£ т£ п

Статистической вероятностью называется относительная частота (частость) этого события А, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее : . При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е. .

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события рана 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть или p+q=1,гдеp–вероятность события А , q–вероятность противоположного ему события.

Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых призов, 100 третьих призов и 1000 четвертых призов. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10000 покупателей. По правилам розыгрыша, после извлечения выигрышного билета он не возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет первый приз; б) выиграет любой приз; в) не выиграет ни одного приза?

Решение. Определим событие А: «Покупатель выиграет первый приз». Согласно условию задачи в лотерее участвовало 10000 покупателей, отсюда общее число испытаний N= 10000, а число исходов, благоприятствующих событию А, М=1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности:

Соответственно, определим событие В: «Покупатель выиграл любой приз». Для этого события число благоприятствующих исходов М=1+5+100+1000=1106.

Событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» - противоположное событию В: «Покупатель выиграл любой приз», поэтому обозначим его как `В. По формуле найдем:

Ответ: а)0,0001; б )0,1106; в)0,8894.

Пример 2.Структура сотрудников в региональном отделении банка имеет следующий вид:

Какова вероятность, что наудачу выбранный сотрудник окажется : а ) мужчина - администратор б) женщина – оператор в)Мужчина г) оператор ?

Решение. а) В банке работают 100 человек, N=100. Из них 15 – мужчин – администраторов , M =15.Следовательно, Р(мужчина-администратор) =

б) 35 сотрудников в банке – женщины – оператор. Следовательно, Р(женщина – оператор) =

в)40 сотрудников в банке – мужчины. Следовательно, Р(мужчина) =

г) Из общего числа служащих в банке 60 – операторы, Следовательно,

Р(оператор) =

Ответ. а) 0,15 ; б) 0,35 ; в) 0,4; г) 0,6

Задачи.

16. На пяти одинаковых карточках написаны буквы. И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится МИНСК?

Ответ: 1/120

17. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор?

Ответ: 1/15

18. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант – по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?

Ответ: 1/180

19. Контролер, проверяя качество 400 изделий, установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, остальные – к первому. Найти частоту изделий второго сорта.

Ответ: 0,05

20. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Ответ: 0,5

21.Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Ответ: 0,385

22. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что взяты 1 зеленый, 2 голубых,3 красных шара ?

Ответ: 0,17

23. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наудачу выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых.

Ответ: 0,4196

24. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом грани 1,2,3,4,5,6 выпадут соответственно 2,3,1,1,1,2 раза ?

Ответ: 0,002

25. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?

Ответ: 1/120

26. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наудачу вынимается 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары разного цвета.

Ответ: 5/9

27. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

Ответ: 18/35

28. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара разного цвета.

Ответ: 0,25

29. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что, извлекая карточки по одному наугад, получим в порядке их выхода слово молот?

Ответ: 1/60

30. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное.

Ответ: 21/40

31. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов один выигрышный?

Ответ: 5/9

32. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.

Ответ: 0,016

33.Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Ответ: 1/6

34.Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

Ответ: 0,515

35. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Ответ: 0,75

36. При стрельбе по мишени частота попаданий W=0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Ответ: 30

37. Частота нормального всхода семян W=0,97. Из высеянных семян

взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Ответ: 1000

38. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Ответ: 0,4

39. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной

монеты, подсчитаны числа появлений герба: а) n =4040; m =2048 ; б) n =12000; m =6019; в ) n =24000 m =12012. Найти частоту появления

герба в каждой серии испытаний.

Ответ: а)0,5069, б) 0,5016, в)0,5005

40.Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не нестандартных. Найти частоту появления нестандартных деталей.

Ответ: 0,05

41. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Найти частоту изделий первого сорта.

Ответ: 0,95

42. Отдел технического контроля обнаружил 10 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найти частоту изготовления бракованных изделий.

Ответ: 0,01

43. Для выявления качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 семян . 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?

Ответ: 0,95

44. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.

Ответ: а)0,2, б)0,3, в)0,2

45. В урне 10 одинаковых по размеру и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекли один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Ответ: 0,6

46. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Ответ: 0,2

47. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события B, состоящего в том, что верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Ответ: 1/9

48. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10.Какова вероятность того, что это число является простым?

Ответ: 0,4

49. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монетах оказался герб?

Ответ: 0,25

50. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Ответ: 0,1

51. Из букв слова «дифференциал» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет а) гласной б) согласной в) буквой Ч?

Ответ: а) 0,417;б) 0,583; в ) 0

52. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Ответ: 0,167

53. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Ответ: 0,2

54. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?

Ответ: 1/3

55. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем 30?

Ответ: 0,2

56. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50 . Какова вероятность того, что это число является простым?

Ответ: 0,3

57. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?

Ответ: 10

58. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11, или 12 очков?

Ответ:11

59. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0.9; второй-0.9; третий-0.8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только второй экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере, два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Ответ: а) 0.018;б) 0.044;в) 0.648;г)0.954;д) 0.998.

60. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента К1, или одновременный выход из строя двух элементов-К2 и К3.Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0.1; 0.2; 0.3.Какова вероятность разрыва электрической цепи?

Ответ:0.154.

61. Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Из не рассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что а) одна из них обработана на третьем станке; б) обе обработаны на одном станке?

Ответ: а)0.48; б)0.46.

62. Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов - по 2 вопроса из 20 по каждой из 5 тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из 5 тем в билете?

Ответ: 0.259.

63. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более 3 раз.

Ответ: а)0.096;б)0.936.

64. Среди билетов денежно-вещевой лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.999, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету?

Ответ: n≥10.

65. Два игрока поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого первым выпадает «6 очков». Какова вероятность выигрыша для игрока, бросающего игральную кость а) первым; б) вторым?

Ответ: а) 0.545, б) 0.455.

66. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для 1-го стрелка равна 0.7, а для 2-го-0.8. Оба они, начиная с 1-го, поочерёдно стреляют, но делают не более, чем по 2 выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно 2 пробоины.

Ответ: 0.9312.