ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Пусть событие А может произойти лишь вместе с одним из событий В₁, В₂, В₃,…,В_n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(В₁), Р(В₂), Р(В₃),…,Р(В_n). Так как события В_i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А : Р(А/B₁), Р(А/B₂),…, Р(А/B_i),…, Р(А/B_n). Так как заранее неизвестно с каким из событий В_i произойдет событие А, то события В_i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий В_i с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как:

. (5.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью.

Если событие А может наступить только с одним из событий В₁, В₂, В₃,…,В_n, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В₁, В₂, В₃,…,В_n, на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

(5.2)

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т. Байеса, опубликовавшего их в 1764 году), где в знаменателе P(A)- полная вероятность.

Пример 1. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?

Решение. Определим события: А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А –« акции компании поднимутся в цене в будущем году»- может произойти только вместе с одной из гипотез: B₁ –экономика страны будет на подъеме и B₂ –экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез: P(B₁)= 0,8; P(B₂)= 0,2

и условные вероятности события А: P(А/B₁)= 0,75; P(А/B₂)= 0,3.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А – это (или B₁А или B₂А). События B₁А и B₂А – несовместные попарно, так как события B₁ и B₂ – несовместны.

События B₁ и А, B₂ и А – зависимые.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

Ответ: 0,66.

Пример 2. Экономист полагает, что в течении периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4; и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течении любого периода времени вероятность активного экономического роста роста 0,3, умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста равна 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение.Определим события: А – «доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: B₁ –«активный экономический рост»; B₂ –«умеренный экономический рост»; B₃–«низкий экономический рост».

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

P(B₁)= 0,3; P(B₂)= 0,5; P(B₃)= 0,2.

P(А/B₁)= 0,7; P(А/B₂)= 0,4; P(А/B₃)= 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. 1.Событие А – это (или B₁А, или B₂А, или B₃А). События B₁А и B₂А и B₃А – несовместные попарно, так как события B₁, B₂ и B₃ – несовместны.События B₁ и А, B₂ и А,А и B₂ – зависимые.По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть P(B₁/А)-?

Используя формулу Байеса (5.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Ответ: 0,467.

Задачи.

118. На фабрике изготовляются болты, первая машина производит 30%, вторая 25%, третья 45% всех изделий. Брак в их продукции составляется соответственно 2%,1%,3%. Найти вероятность того, что случайно выбранной болт окажется дефектным.

Ответ: 0,022

119. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% вторым, на 50% третьим. Вероятность выпуска бракованных лампочек ,соответственно , равны q₁=0.01, q₂=0.005, q₃=0.006. Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочек окажется стандартной.

Ответ: 0,9935

120. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимаются слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку (событие А)

Ответ: 0,81

121. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,1% брака, второй 0,2%, третий 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго 2000, с третьего 3000 деталей.

Ответ: 0,023

122. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02 , для второго 0,03, для третьего 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет бракованной?

Ответ: 0,024

123.На автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором 0,81. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется высшего качества.

Ответ: 0,87

124.На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и 40% вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 лампочек , изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85.Опеределите вероятность того, что наудачу взятая лампочка будет удовлетворять стандарту.

Ответ: 0,91

125. На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема их производства, на второй 25% , на третьей остальная часть продукции. Каждая из линии характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий:97%, 98%,96%.Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.

Ответ: 0,032

126.Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй 4 голубых и 4 красных, в третьей 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие А).

Ответ: 0,292

127. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая 25%, третья 45% всех изделий. Брак в их продукции составляется , соответственно, 2%, 1%, 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт окажется стандартным.

Ответ: 0,978

128. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20% , второй 46% и третьей 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй 2%,для третьей 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Ответ: 0,322

129. На фабрике машины a,b,c производят соответственно 20%, 35%, 45% всех изделий. В их продукции брак составляет 3%, 2%, 4%. Какова вероятность того, что случайно выбранное дефектное изделие произведено машинами a,b,c , соответственно?

Ответ: 0,1936, 0,2258, 0,5806

130. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2% , у второго 1%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Ответ: 0,6

131. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам шары. В двух ящиках по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава H1). В других ящиках (состава H2) по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава H3) 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?

Ответ: 0,4

132.На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема их производства, на второй 25% , на третьей остальная часть продукций. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годовой линий: 97%, 98%, 96%. Наудачу взятое изделие, выпущенное предприятием, оказалась бракованным . Определить вероятность того, что это изделие изготовлено на первом, втором и третьем линиях.

Ответ: 0,281, 0,516, 0,563

133. В первой урне 2 голубых и 6 красных шаров, во второй 4 голубых и 2 красных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

Ответ: 1/21

134. На предприятии, изготовляющем болты, первая машина производит 30%, вторая 25%, третья 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт, произведен а)первой, б)второй и в)третьей машинами, оказался бракованным.

Ответ: а)0,272, б) 0,113, в) 0,614

135. Партия транзисторов, среди которых 10% с дефектами, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Случайно выбранный из партий транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен?

Ответ: 0,221

136. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1:2:3, причем вероятность брака для этих заводов соответственно равны 3%,2%,1%. Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор изготовлен первым заводом (марка завода на приборе отсутствовала).

Ответ: 0,3

137.Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй 40%,третий всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого 2%, у второго 3%,у третьего 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.

Ответ: 0,345

138. В торговую фирму поступили телевизоры от 3 поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что а) поступивший в торговую фирму телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока; б) проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного стока.

Ответ: а) 0,91 б) 0,444;

139.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго-0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2-му стрелку?

Ответ: а) 0,857 б) 0,143.

140. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки c буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) “событие” б) “статистика”.

Ответ: а) 0,000198 б) 0,0000132.

141.Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

Ответ: 0.00833

142.Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета, причем каждый может выиграть только 1 билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) 4 девушки б) 4 юноши в) 3 юноши и 1 девушка?

Ответ: а) 0,11; б) 0,0166; в) 0,142

143.Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города: а) 3 сбербанка б) хотя бы 1?

Ответ: а) 0,348; б) 0,985

144.Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых 3 пары мужской, а 2 пары женской, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

Ответ: 0,6

145.В магазине имеется 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

Ответ: 0,809

146.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные б) одинаковые в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры 0.

Ответ: а) 0,0000367; б) 0,0001; в) 0,0347

147.Для проведения соревнования 16 волейбольных команд разбиты по жребию на 2 подгруппы (по 8 команд в каждой). Найти вероятность того, что 2 наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

Ответ: а) 0,533; б) 0,467

148. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет счмтается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?

Ответ: а) 0,901; б) 0,099

149. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них 4-первого, по 2-второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди 6 взятых одновременно деталей 3 окажутся первого вида, 2-второго и 1-третьего?

Ответ: 0,038

150. Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.

Ответ: 0,067

151.В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков б) выигрыша.

Ответ: а) 0,125; б) 0,5

152.На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3-высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2-высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется, по крайней мере, 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

Ответ: 0,329

153. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки-наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.

Ответ: 0,0281

154. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в 1 группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй-15 студентов из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную оценку, написана студентом 1 группы.

Ответ: 0,636

155. Экспедиция издательства отправила газеты в 3 почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет отделениями, соответственно равна 0,95; 0,9 и 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Ответ: а) 0,032; б) 0,316

156. Прибор, работающий в течение времени t , состоит из 3 узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы узлов в течение времени t, соответственно, равна 0,9; 0,95 и 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя.

Ответ: 0,316

157. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2 , второй-0,3 , третий-0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

Ответ: 0,664.

158. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: 1 класс- малый риск, 2- средний, 3- большой риск. Среди этих клиентов 50%- первого класса риска, 30%- второго, 20%- третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01 , второго- 0,03, третьего- 0,08. Какова вероятность того, что: а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования б) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

Ответ: а) 0,03; б) 0,167

159. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6 , а для второго- 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

Ответ: 0,778.

160. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй - остальные. Вероятность того, что первый пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.

Ответ: 0,621.

161. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой- 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Ответ: 0,0073