ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть:

(4.1)

Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие Æ, а его вероятность равна нулю. Следовательно, для несовместных событий А, В: Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий, то есть:

(4.2)

Сумма вероятностей событий образующих полную группу, равна 1, то есть:

, или (4.3)

Пример 1. Компания производит 40000 холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них 10000 экспортируются в страны СНГ, 8000 продаются в регионах Европейской части России, 7000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет а) произведен на экспорт? б) продан в России?

Решение. Обозначим события:

А – «Холодильник будет продан в странах СНГ»,

В – «Холодильник будет продан в Европейской части России»,

С – «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»,

D – «Холодильник будет продан в Западной Сибири»,

E – «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»,

F – «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе».

Соответственно, вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ: P(A)=10000/40000=0,25. Вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России: P(B)= 8000/40000=0,20. Вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья: P(C)= 7000/40000=0,175. Вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири: P(D)= 6000/40000=0,15. Вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири: P(E)=5000/40000=0,125.

Вероятность того, что холодильник будет продан в Дальневосточном районе:

P(F)= 4000/40000=0,10. События A, B, C, D, E, F – несовместные.

а). Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт,

означает, что холодильник будет продан в страны СНГ, или страны дальнего зарубежья. Отсюда, по формуле (4.2) находим его вероятность P(A+B)=P(A)+P(B)=0,25+0,175=0,425.

б ) Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или в Дальневосточном регионе на P(B+D+E+F)= P(b)+P(D)+P(E)+P(F)=0,20+0,15+0,125+0,10=0,575.

Этот же результат можно было получить рассуждая по другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» - два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (2.3): Р(холодильник будет продан в России)=1 – Р (холодильник произведен на экспорт)= 1-0,425=0,575.

Ответ: а) 0,425; б) 0,575.

Пример 2. В урне два белых и три черных шара. Чему равна вероятность появления белого а.)шара при первом извлечении из урны? б.)при втором извлечении из урны?

Решение. Здесь возможны два случая.

Первый случай. Схема возвращенного шара, то есть шар после первого испытания возвращается в урну.

Пусть событие А – «появление белого шара при первом испытании». Так как N =5, а М=2, то Р(А)=2/5.

Пусть событие В – «появление белого шара при втором испытании». Так как шар после первого испытания возвращается в урну, то N =5, а М=2 и Р(В)=2/5.

Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того,

произошло или не произошло другое событие. Событие А и В в этом случае называются независимыми.

Итак, событие А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

Вероятность независимых событий называются безусловными.

Второй случай Схема невозвращенного шара, то есть шар поле первого испытания в урну не возвращается.

Вероятность появления белого шара при первом испытании P(A)=2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались один белый и три черных шара. Чему равна вероятность события В при условии, что событие А произошло? N=4, M=1.

Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)_А или Р_А(В). Итак, Р(В/А)=1/4 называют условной вероятностью, а событие А, В называется зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А)=4/52; Р(А/В)=4/16.

Ответ:а.) 0,4 ; б.) 4/52 и 0,25.

События А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: P(AB)= P(A) × P(B) ( 4.4 )

События А₁, А₂, …, А_n(n>2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятности этих событий.

P(А₁ × А₂ × …× А_n )= P(А₁) × P(А₂) ×… × P(А_n) (4.5)

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

(4.6)

Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, то есть

P(А₁ × А₂ × …× А_n )= P(А₁) × P(А₂/ А₁) × P(А₃/ А₁× А₂) ×… × P(А_n/ А₁× А₂×…×А_n-1) (4.7)

Если события А₁, А₂, …, А_n - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равно:

(4.8)

Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятности событий, противоположных данным, то есть:

(4.9)

Пример 3. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратиться к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?

Решение: Обозначим события: А – «получение консультационной работы в корпорации А», В – «получение консультационной работы в корпорации В». События А и В - зависимые, то есть событие В зависит от того, произойдет или нет событие А. По условию мы имеем Р(А)=0,45, а также знаем, что Р(В/А)=0,9. Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, то есть Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей : Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=

=0,45 × 0,9 = 0,405.

Ответ: 0,405.

Задачи.

84. Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

Ответ: 1/2

85. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?

Ответ: 1/2

86. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность того , что сумма выпавших очков не превосходит четырех.

Ответ: 1/6

87. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4 ,во второй 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Ответ: 0,7

88. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Ответ: 0,97

89. Симметричная монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

Ответ: 3/8

90. В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.

Ответ: 5/91

91. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,85; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.

Ответ: 0,991

92. Найти вероятность совместного появления цифры при одном подбрасывании двух монет.

Ответ: 1/4

93. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27, во втором28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Ответ: 0,7

94.Имеются две урны с шарами трех цветов. В первой находится 2 голубых, 3 красных,5 зеленых, а во второй 4 голубых, 2 красных и 4 зеленых. Из каждой урны извлекаются по одному шару и сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров одинаковы .

Ответ: 0,34

95. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего равна 0,6. Предполагая, что станки независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуется внимание рабочего: а) на все четыре станка, б) ни на один станок, в) по крайне мере на один станок

Ответ: а)0,4, б)0,0256, в)0,9744

96. Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени он проводит у первого станка , 15% у второго , 20% у третьего , 25% у четвертого ,30% у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: а ) у первого, или у третьего станка, б ) у второго, или пятого, в ) у первого , или четвертого станка , г ) у третьего , или пятого, д ) у первого , или второго , или четвертого станка.

Ответ: а)0,30, б)0,45, в)0,35, г)0,50, д)0,50

97. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.

Ответ: 51/90

98. В урне 6 голубых и 4 красных шара. Из нее извлекают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара голубые?

Ответ: 1/3

99. В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,8.Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.

Ответ: 0,68

100. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3?

Ответ: 0,667

101. Из урны содержащей 3 голубых и 2 красных шара, по схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность Рк того, что красный шар впервые появится при к-м испытании (к=1,2,3,4)

Ответ: р₁=0,4, р₂=0,3, р₃=0,2, р₄=0,1

102. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁=0,75,р₂=0,80, Р₃=0,85 . Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех этих орудий?

Ответ: 0,925

103. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,973.Найти вероятность появления события в одном испытании.

Ответ: 0,7

104. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Из ящика последовательно вынимают 2 шара: первый шар в ящик не возвращают. Найти вероятность того, что первый вынутый шар окажется голубым, а второй красным.

Ответ: 0,238

105.Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки. Карточка с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово папа?

Ответ: 1/30

106.Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6 , 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее, чем в 2 справочниках.

Ответ: 0,788

107. Произведено 3 выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75; при втором 0,8;при третьем 0,9. Определить вероятность того, что будет: а) 3 попадания б) хотя бы 1 попадание

Ответ: а) 0,54; б) 0,995

108. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из 3 дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам б) хотя бы по двум дисциплинам.

Ответ: а) 0,46; б) 0,7.

109. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый , второй, третий и четвертый станки в течение смены потребуют внимания рабочего, соответственно , равна 0,3 ; 0,6; 0,4 и 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

Ответ: 0,982

110. Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные - второго. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу из этой партии трех пальто одно будет второго сорта.

Ответ: 0,421

111. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 8 часов, по крайней мере, 2 нуждаются в общей чистке механизма?

Ответ: 0,344.

112. Среди 15 лампочек 4 стандартных. Одновременно берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы 1 из них нестандартная.

Ответ: 0,476.

113. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт- 7 лам , по 75 Вт- 13 ламп . Вынуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что а) они одинаковой мощности ; б) хотя бы 2 из них по 100 Вт?

Ответ: а) 0,282; б) 0,270.

114. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) разных цветов б) одного цвета?

Ответ: а) 0,184; б) 0,137.

115. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А , встретится дефект В б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.

116. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность того, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?

Ответ: 0,708

117. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.

Ответ: 0,4