ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ

ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА.

Формула Бернулли.Производятся испытания, в каждом из которых может появиться со­бытие А или событие `А. Если вероятность события А в одном испы­тании не зависит от появления его в любом другом испытании , то испытания назы­ваются независимыми относительно события А. Будем считать, что ис­пытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероят­ность через p, а вероятность появления события Ā через q (q = 1 -p).

Вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно к раз (и не появится п-k раз), обозначим через Р_n (k), тогда

P_n(k)= , (6.1.)

где

(6.2.)

Формула (6.1.)называется формулой Бернулли.

Число k_о, которому при заданном п соответствует максимальная би­номиальная вероятность Р_n(к_о), называется наивероятнейшем числом появления события А. При заданных п и p это число определяется нера­венствами np-q≤k₀≤np+p (6.3)

Если число пр + р не является целым, то kо равно целой части этого числа (к₀ = [пр + р]); если же пр + р - целое число, то kо имеет два зна­чения k'₀=np-q, k"=np + p.

Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее к раз; б) более к раз; в) не менее к раз; г) не более к раз, находят соответ­ственно по формулам: а)P(A)=P_n(o)+P_n(1)+……+P_n(k-1) (6.4)

б)P(A)=P_n(k+1)+P_n(k+2)+……+P_n(n) (6.5)

в)P(A)=P_n(k)+P_n(k+1)+……+P_n(n) (6.6)

г)P(A)=P_n(0)+P_n(1)+……+P_n(k) (6.7)

Распределение Пуассона.В одинаковых условиях производится п независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р или событие Āс вероятностью q (q= 1- p). Вероятность того, что при п испытаниях событие А появится к раз (и не появится п – k раз) определя­ется формулой Бернулли (см. формулу (6.1)).

Рассмотрим случай, когда п является достаточно большим, а р - дос­таточно малым; положим пр = а, где а - некоторое число.

Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Пуассона

(6.8)

Постоянную a=np (6.9)

входящую в формулу (6.1), называют параметром распределения Пуассона.

Закон распределения Пуассона можно записать в виде следующей таблицы:

X	0	1	2	….	K	….
P	e-a	ae-a		….		….

Локальная теорема Лапласа.Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0 < р < 1), то веро­ятность P_п(к) того, что во всех этих испытаниях событие А поя­вится ровно к раз, приближенно выражается формулой

, (6.10)

или

, (6.11)

при

, (6.12)

где

(6.13)

Отметим, что таблицы значений функции (6.13) даны в приложениях к учебникам и учебным пособиям по теории вероятностей; имеются они и в данном справочном пособии.

Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0 < р < 1), то вероятность P_n(k_1, k₂) того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно определяет­ся формулой

, (6.14)

где

(6.15)

Эту формулу можно представить в другом виде:

P_n(k₁,k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁) (6.16)

где Ф(х) – функция Лапласа, т.е.

(6.17)

а х₁, и х₂ определяются равенствами (6.15).

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.Вероятность того, что при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), модуль отклонения частоты появления события от вероятности события не пре­вышает положительного числа ε, приближенно равна удвоенному значе­нию функции Лапласа при

(6.23)

Пример 1.Доля изделий высшего сорта на данном предприятии со­ставляет 30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

Решение.По условию n = 75, p = 0,3, поэтому q = 1- р=0,7. Со­ставляем двойное неравенство (6.5): 75 • 0,3 - 0,7 ≤ k₀ < 75 • 0,3 + 0,3;

21,8 ≤ k₀ < 22,8.

Отсюда следует, что k₀ = 22 (k₀ = [22,8]).

Ответ :22

Пример 2. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение.а)По формуле (6.6) при п = 10, к₁ = 4, к₂= 6, р = q = 0,5 на­ходим

б) Согласно формуле (6.7) получим .

Ответ : а)21/32; б) 1023/1024.

Пример 3.Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью, равной 0,001. Ка­кова вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится не менее двух и не более четырех раз.

Решение:Из условия задачи следует, что п = 2000, р = 0,001, а = пр = 2000 • 0,001 = 2, 2 < к < 4. Следовательно

Ответ: 0,541.

Пример 4. Вероятность появления события А в каждом из 900 неза­висимых испытаний равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие

А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.

Решение. По условию п = 900, к₁ = 710, к₂ = 740, р = 0,8, поэтому

q = 0,2. Согласно формулам (6.20) находим

По таблице значений функции Лапласа (см. приложение), учитывая нечетность функции, определяем

, .

В соответствии с формулой (4.21) получаем искомую вероятность

P₉₀₀(710,740)=Ф(x₂)-Ф(x₁)=Ф(1,67)-Ф(-0,83)=0,4525-(-0,2967)=0,7492.

Ответ: 0,7492.

Задания.

162.Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

Ответ: 59≤n≤65.

163.На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Ответ: 0,1755.

164.В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Ответ: 0,0022.

165.По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Ответ: а) 0,0024; б) 0,9998.

166. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; б) будет продано менее 2 пакетов; в) не более 2 пакетов; г) хотя бы 2 пакета.

Ответ: а) 0,066; б) 0,436 ; в) 0,738; г) 0,564.

167. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найти вероятность того, что а) из 10 000 изделий будет повреждено 3; б) по крайней мере 3 изделия.

Ответ: а) 0,1804; б) 0,3233

168. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины: а) 480 предприятий, б) не менее 480, в) от 480 до520.

Ответ: а) 0,0113, б)0,897, в) 0,794

169. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной р=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 000. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надёжностью 0,95?

Ответ: 1,92 млн.руб.

170. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий за время t сохраняется: а) два предприятия, б) более двух предприятий.

Ответ: а) 0,717; б) 0,999

171. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомлектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трёх.

Ответ: а) 0,201; б) 0,322.

172. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

Ответ: 0,544.

173. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора, б) менее 2 договоров.

Ответ: а) 0,1298; б) 0,544.

174. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?

Ответ: 0,984.

175. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: а) не менее 3 мальчиков, б) не более 3 мальчиков.

Ответ: а) 0,945, б) 0,172.

176. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) 3 ошибочно укомплектованных пакета б) не более 3 пакетов.

Ответ: а) 0,00715; б) 0,9992.

177. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних котеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100000 листков число заказов будет: а) равно 48; б) заказов будет от 45 до 55.

Ответ: а) 0,054; б) 0,522.

178. В ВУЗе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определенный день, равна 1/365. Найти: а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая; б) вероятность того, что, по крайней мере, 3 студента имеют один и тот же день рождения.

Ответ: а) 10; б) 0,1251.

179. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 5 бракованных книг б) по крайней мере, 9998 книг сброшюрованы правильно.

Ответ: а) 0,0031; б) 0,9197.

180. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет одинаковое количество попаданий б) у первого баскетболиста будет в 2 раза больше попаданий, чем у второго.

Ответ: а) 0,321; б) 0,436.

181. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?

Ответ: а) 0,251; б) 0,0743.

182. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,1.Найти вероятность того, что а) из 200 перфокарт правильно набитых будет не меньше 180 б) у того же оператора из 10 перфокарт будет неверно набитых не более 2.

Ответ: а) 0,5; б) 0,930.

183. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов б) не менее 180 студентов.

Ответ: а) 0,0054 б) 0,977.

184. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.

Ответ: а) 0,970; б) 0,961.

185. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?

Ответ: 55.

186. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти а) наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров б) и вероятность такого числа опоздавших.

Ответ: а)8; б)396.

187. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт- 7 шт., по 75 Вт- 13 шт. Вынуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что: а) они одинаковой мощности б) хотя бы 2 из них по 100 Вт? Ответ: а) 0,282; б) 0,270.

188.В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) разных цветов б) одного цвета?

Ответ: а) 0,184; б) 0,137.

189.Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В- 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А , встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.

Ответ: а) 0,0104; б) 0,625.

190. Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Ответ:а) 0,2916; б)0,9477

191. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках не­зависимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабоче­го потребует какой-либо станок из четырех, обслуживаемых им.

Ответ0,1536

192. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется их десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Ответ:0,9298

193.Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

Ответ:от 191 до 197

194.Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений события А в 120 испытаниях равно 32?

Ответ:

195.Какое минимальное число опытов достаточно провес­ти, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем а(0 < а < 1), можно было бы ожидать наступление события А хотя бы один раз, если вероятность события А в одном опыте равна р.

Ответ:n₀=80

196.Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок производит 6 выстрелов по ми­шени. Найти вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и 1 попадание в третью зону.

Ответ:0,135

197.Применяемый метод лечения приводит к выздоровле­нию в 90 % случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных попра­вятся не менее 4?

Ответ:0,918

198.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Ответ:0,6875

199.Проверка качества выпускаемых деталей показала, что в среднем брак составляет 7,5 %. Найти наиболее вероятное число стан­дартных деталей в партии из 39 штук, отобранных наудачу.

Ответ:36 или 37

200. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16?

Ответ: 22 или 23

201. Найти вероятность того, что при 10 подбрасываниях

монеты герб выпадет 5 раз.

Ответ:0.246

202. Монетку подбрасывают 5 раз. Случайная величина X-число выпадений цифры. Возможные значения величины X: х₀ = 0, х₁ = 1, х₂= 2, х_ъ =3, х₄= 4, х₅=5.

Записать закон распределения слу­чайной величины X.

Ответ:

203. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб
выпадет ровно 3 раза?

Ответ:15/128

204.Найдите вероятность того что среди взятых наугад пяти деталей

две стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0,9.

Ответ:0,081

205. Чему равно наивероятнейшее число нестандартных среди 500 де­
талей, если вероятность для каждой из них быть нестандартной равна
0,035?

Ответ:17

206.Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-
го размера, равна 0,25. Найдите вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.

Ответ: 0,466

207.Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 %
случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся 4?

Ответ:0,74

208.Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет
40 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в слу­чайно отобранной партии из 120изделий?

Ответ:48

209.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна0,7.
Найдите вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов.

Ответ:0,267

210.Найти дисперсию дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Ответ:a

211. Производятся независимые испытания, в каждом из ко­торых событие А может появиться с вероятностью 0,002. Какова ве­роятность того, что при 1000 испытаниях событие А появится 5 раз?

Ответ:0,0361

212. Вероятность изготовления детали 0,004.Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Ответ:0,1562

213. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0,002. Найти ве­роятность того, что в течение 1 мин. обрыв произойдет более чем на трех веретенах.

Ответ:0,1428

214.Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Ве­роятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность а) отказа двух элементов; б) отказа не менее двух элементов за год?

Ответ:а)0,1831; б) 0,2642

215.Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01.

Найти вероятности следующих событий: а) в течении часа 5 абонентов позвонят на станцию ; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию ; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию .

Ответ: а) 0,1563, б) 0,6289, в) 0,7619

216.Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что при 100 испытаниях событие А появится а) 1 раз; б) 3 раза ; в) 5 раз ; г) не появится ни разу.

Ответ: а)0,3679; б) 0,1839; г) 0,0613; в) 0,0153; г) 0,0005.

217.На факультете обучается 500 студентов. Какова веро­ятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для а) одного б) двух в) трех г) ни одного студента данного факультета.

Ответ: а)0,3481; б) 0,2385; в) 0,1089; г) 0,2541;

218.При введении вакцины против полиомиелита иммуни­тет создается в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеет а)1; б) 2; в) 3; г) 4 ребенка?

Ответ:а)0,3679; б)0,1839; в)0,0613; г)0,0153.

219. Производятся независимые испытания, в каждом из которых со­
бытие А может появиться с вероятностью 0,0015. Какова вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится 3 раза?

Ответ:0,2242.

220. Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей
имеются 4 дефектных. Найдите вероятность того, что среди 50 наугад
взятых деталей нет дефектных.

Ответ: 0,8187

221. Завод отправил на базу 5000 качественных изделий. Вероятность
повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность
того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия;

б) ровно одно изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.

Ответ:а)0,06313; 6)0,367879; в) 0,981011; г) 0,018989.

222. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найди­
те вероятность того, что магазин получит: а) хотя бы одну; б) менее 2;
в) ровно 2; г) более 2 разбитых бутылок.

Ответ: а) 0,95; 6)0,1992; в) 0,224; г) 0,577.

223. Независимые случайные величины X, У, Z распределены по закону
Пуассона соответственно с параметрами а= 1, b = 2, с = 3.

Найдите за­кон распределения их суммы.

Ответ:

224.Независимые случайные величины X, Y, Z распределены по закону
Пуассона, причем М(Х) = a, M(Y) = b, М(Z) = с. Найдите закон распределения их суммы и М(Х + Y+Z).

Ответ:

225. Независимые случайные величины Х_к (к = 1,2,..., т) распределе­ны по закону Пуассона, причем М(Х_к) = а_к. Запишите закон распреде­ления их суммы.

Ответ:

226.Вероятность того, что электролампочка, изготовленная дан­ным заводом, является бракованной, равна 0,02. Дня контроля отобрано нау­гад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Ответ:0,9576

227.Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти ве­роятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заклю­чено между 790 и 830.

Ответ:0,9736

228.Производство дает 1 % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?

Ответ:0,9651

229.Вероятность изготовления детали первого сорта на дан­ном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.

Ответ:0,04565

230. Вероятность появления события в каждом из 100 неза­висимых испытаний постоянна и равна0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 70 и не более 85 раз; б) не менее 70 раз; в) не более 69 раз.

Ответ:а) 0,8882; б) 0,9938; в)0,0062.

231. Вероятность появления события в каждом из 900 неза­висимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относитель­ная частота появления события отклонится от его вероятности по моду­лю не больше чем на 0,02.

Ответ:0,7698.

232. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 про­растания для каждого семени. Найти границу модуля отклонения часто­ты взошедших семян от вероятности р = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью Р = 0,995.

Ответ :0,0034

233. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частоты изделий первого сорта в них от вероятности р = 0,85 по модулю не превосходило 0,01 ?

Ответ:11171

234. Вероятность появления положительного результата в каждом из п опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, что­бы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат.

Ответ:180.

235.Игральный кубик подбрасывают 80 раз. Найти с веро­ятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число т выпадений шестерки

Ответ:5 ≤ т ≤ 22.

236. Обследуются 500 изделий продукции, изготовленной на предприятии, где брак составляет 2%. Найти вероятности того, что
а) среди них окажется ровно 10 бракованных;

б) число бракованных в пределах от 10 до 20.

Ответ:а) 0,127; б) 0,499.

237.Оценить вероятность события

Ответ:0,354

238. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном стан­ке равна 0,4. Найдите вероятность того, что среди наудачу взятых 26
деталей половина окажется высшего сорта.

Ответ:0,093

239. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления со­
бытия в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в
отдельном испытании равна 0,5?

Ответ:55

240. Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятность то­го, что число очков, кратное трем, выпадает не меньше 260 и не больше
274 раз?

Ответ:0,4

241. Вероятность появления события А в опыте равна 0,2. Опыт повторили
независимым образом 400 раз. Какова вероятность того, что при этом событие А произойдет а) 70 раз; б) 80 раз; в) не менее 70, но не более 90 раз;

г) не менее 76, но не более 82 раз; д) не менее 78 раз; е) не более 78 раз?

Ответ:а) 0,023; б) 0,05; в) 0,789; г) 0,92; д) 0,6; е) 0,4.

242.Вероятность появления события в каждом из независимых испыта­ний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятно­стью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?

Ответ:100

243.Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найдите вероятность того, что относительная Частота появления события отклонится от его вероятности по модулю не

более чем на 0,01

Ответ:0,979