Теоретические сведения к выполнению контрольной работы

Числовые ряды

Числовым рядомназывается выражение вида

где действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если задана формула общего члена ряда, то есть, задана функция натурального аргумента.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой рядаи обозначается , то есть

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, то этот предел называется суммой ряда,следовательно, .Такой ряд называется сходящимся.

Если не существует или , то ряд называется расходящимся.

Установить сходимость (расходимость) ряда можно на основании признаков сходимости.

Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то .

Следствие. (Достаточное условие расходимости ряда). Если , то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд расходится, так как

то есть выполняется достаточное условие расходимости ряда.

Ответ: ряд расходится.

Замечание. необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда, то есть если , то из этого еще не следует, что ряд сходится.

Ниже приведем достаточные признаки сходимости ряда.

Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и , причем при всех , тогда:

а) если сходится ряд , то сходится и ряд ;

б) если расходится ряд , то расходится и ряд .

На практике удобно для сравнения использовать следующие «эталонные» ряды:

1) геометрический ряд сходится при , расходится при ;

2) гармонический ряд расходится;

3) обобщенный гармонический ряд

сходится при расходится при .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Здесь Для сравнения возьмем ряд с общим членом который расходится (гармонический ряд). Так как то по признаку сравнения ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Предельный признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и . Если существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь Для сравнения возьмем гармонический ряд, где

Так как , то данный ряд также расходится.

Ответ: ряд расходится.

Признак Даламбера.Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда

а) если , то ряд сходится;

б) если , то ряд расходится.

Замечание. Если , то признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Ответ: ряд сходится.

Признак Коши. Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда:

а) если , то ряд сходится;

б) если , то ряд расходится.

Замечание. Если , то признак Коши ответа на вопрос о сходимости не дает.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Находим . Так как , то данный ряд по признаку Коши расходится.

Ответ: ряд расходится.

Интегральный признак Коши. Пусть дан положительный ряд , члены которого не возрастают, то есть , и пусть непрерывная положительная убывающая функция, определенная при , такая, что тогда интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Рассмотрим несобственный интеграл

Таким образом, интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид:

,

где .

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, то есть

2) Общий член ряда стремится к нулю:

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин: .

Ряд называется условно сходящимся, если ряд , составленный из абсолютных величин – расходится, а исходный ряд – сходится.

Степенные ряды

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным:

Совокупность числовых значений аргумента, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента , то есть так называемый степенной ряд:

Числа называются коэффициентами ряда.

Рассматривают также степенной ряд, разложенный по степеням , то есть ряд вида:

,

где некоторое постоянное число.

Чтобы определить область сходимости степенного ряда, необходимо найти радиус сходимости ряда.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если это такое положительное число, что при всех , для которых , ряд сходится, а при ряд расходится.

Радиус сходимости можно вычислить по одной из следующих формул:

,

.

Замечания.

1. Существуют степенные ряды, у которых интервал сходимости состоит из одной точки, то есть для них . Если же , то ряд сходится на всей числовой прямой.

2. Если ряд разложен по степеням , то интервал сходимости находят из неравенства .

3. Если степенной ряд содержит не все степени , то интервал сходимости ряда находят непосредственно применяя признак Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Надо отметить, что на концах интервала, то есть при и при сходимости сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Пример. Найти область сходимости ряда

Решение. Область сходимости степенного ряда найдем по формуле :

.

Следовательно, ряд сходится при то есть интервал сходимости ряда:

Проверим сходимость ряда на границах интервала сходимости.

При ряд будет иметь вид:

.

Этот ряд расходится, так как (по достаточному условию расходимости ряда).

При ряд имеет вид:

.

Данный ряд расходится, так как (по достаточному условию расходимости ряда).

Ответ: область сходимости ряда .

Для практического применения важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд.

Если функция бесконечно дифференцируема (имеет производные любых порядков) в окрестности точки , то данную функцию можно представить в виде ряда Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение данной функции в ряд Маклорена:

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

при ,

при ,

при ,

при

На практике, используя табличные разложения элементарных функций, можно разложить в ряд Маклорена более сложные функции.

Пример. Разложить в ряд Маклорена .

Решение. Используем формулу из тригонометрии:

.

Сначала найдем разложение в ряд Маклорена для функции .

Заменим в табличном разложении на :

Ответ:

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

– ряд Маклорена.

В нашем случае .

Используем табличное разложение в ряд Маклорена:

Пусть , тогда , .

Ответ: