Образец выполнения контрольной работы

1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Используем признак сходимости Даламбера:

Следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Область сходимости степенного ряда найдем по формуле .

.

Так как , то область сходимости ряда: .

При ряд имеет вид:

.

Это знакопеременный ряд. Определим его сходимость с помощью признака Лейбница:

1) , то есть члены ряда убывают по абсолютной величине. Первое условие выполняется.

2) . Второе условие тоже выполняется.

Следовательно, ряд по признаку Лейбница сходится.

При ряд имеет вид:

.

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом по предельному признаку сравнения.

.

Следовательно, данный ряд также расходится.

Отсюда, область сходимости степенного ряда будет .

Ответ: область сходимости ряда .

3. Вычислить приближенно с точностью .

Решение. Используем разложение в ряд Маклорена функции .Для вычисления запишем степенной ряд при , принадлежащем области сходимости :

Взяв первые шесть членов разложения мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), то есть .

Итак,

.

Ответ: с точностью .

4. Дана функция и точки , . Вычислить: а) производную этой функции в точке по направлению вектора ; б) .

Решение. а) Координаты вектора определяются по формуле , если и .

.

Вычислим производную функции в точке по направлению вектора :

б) Согласно определению,

Ответ. , .

5. Найти частные производные: , , , , функции

.

Решение.

Ответ. , , ,

, .

6. Найти экстремум функции двух переменных .

Найдем критические точки:

Значит , , , – точки возможного экстремума.

Найдем значение в каждой точке.

1) В точке . Следовательно, в точке экстремум существует. Так как <0, то в точке функция имеет максимум, причем .

2) В точке .

Следовательно, в точке экстремума нет.

3) В точке . Следовательно, в точке экстремума нет.

4) В точке . Следовательно, в точке экстремума нет.

5) В точке . Следовательно, в точке экстремум существует. Так как >0, значит в точке функция имеет минимум, причем .

6) В точке . Следовательно, в точке экстремум существует. Поскольку >0, то в точке функция имеет минимум, причем .

7) В точке . Следовательно, в точке экстремума нет.

8) В точке , следовательно, в точке экстремум существует. Так как >0, отсюда в точке функция имеет минимум, причем .

9) В точке , следовательно, в точке экстремум существует. Так как >0, то в этой точке функция имеет минимум, причем .

Ответ. В точках , , , функция имеет минимум, причем ; в точке функция имеет максимум, причем .

7. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

Решение. Изобразим область интегрирования D на чертеже:

Выберем внутреннее интегрирование по x, а внешнее по y, тогда двойной интеграл выразится одним повторным интегралом:

.

Ответ. .

8.Для векторного поля в точке найти: а) дивергенцию, б) ротор.

Решение.

а)Вычислим частные производные

.

б) Для вычисления ротора найдем следующие частные производные:

.

Ответ. , .

Задания контрольной работы

1. Исследовать сходимость ряда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

2. Найти область сходимости ряда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

3*.Вычислить приближенно с точностью , разложив функцию в степенной ряд:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

4.Дана функция и точки . Вычислить: а) производную этой функции в точке по направлению вектора ; б) .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

5. Найти частные производные: , , , , функции .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

6*. Найти экстремум функции двух переменных:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

7. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.

1) , D: , .

2) , D: , .

3) , D: , .

4) , D: , ,.

5) , D: , , .

6) , D: , .

7) , D: , .

8) , D: , .

9) , D: , , .

10) , D: , , .

8.Для векторного поля в точке найти а) циркуляцию,

б) ротор.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,