Частные производные. Производная по направлению и градиент. Частные производные высших порядков

Частной производной функции по независимой переменной х называется конечный предел

= , вычисленный при постоянном значении у.

Частной производной функции по независимой переменной у называется конечный предел

= ,

вычисленный при постоянном значении х.

То есть частная производная функции по переменной x есть производная этой функции по x при постоянном значении y. Аналогично, частная производная функции по переменной y есть производная этой функции по y при постоянном значении x.

Обозначаются частные производные одним из символов:

, , , ; , , , .

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными. Например, производная функции по x определяется формулой

.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример. Найти и , если .

Решение. При вычислении переменная у рассматривается как постоянная величина:

.

Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:

.

Пример. Найти и , если .

Решение.

Определение. Производная функции трех переменных по направлению l, заданному вектором , вычисляется по формуле

где , , , .

Абсолютная величина определяет скорость изменения функции в точке , а ее знак – характер ее изменения (возрастания или убывания).

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если , .

Решение. Координаты вектора определяются по формуле , если и .

.

,

Определение. Градиент функции есть вектор , численно равный наибольшей производной по направлению, который вычисляется по формуле:

.

Пример. Найти градиент и его длину функции в точке .

Решение.

.

Длину градиента вычисляем как длину вектора

.

Частные производные первого порядка мы можем рассматривать как функции, заданные в некоторой области пространства переменных х₁, х₂, …, х_n. От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

;

производных от :

и так далее до ; всего получается производных , где . Производная обозначается также или . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции .

Если , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается .

Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных.

Пример.Пусть .

Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:

.

Затем находим производные от :

,

производные от :

и производные от :

,

.

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:

Эти производные (их штук) называются частными производными третьего порядка; от них можно найти частные производные четвёртого порядка

и т. д.

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, означает то же самое, что .

Пример.Вычислим для функции из предыдущего примера.

Поскольку имеем

.