Тема 1.3. Пара сил и момент силы относительно точки

Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил или относительно точки, условия равновесия системы пар сил.

Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.

Пара сил, момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направ­ленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (F, F¹), образую­щих пару.

1. Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом.
2. Силы, входящие в пару, не уравновешива­ются, т. к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействую­щей).
3. Момент пары сил численно равен произ­ведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
4. Момент считают положительным, ес­ли пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1 б): M(F; F') = Fa; М > 0.
5. Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Свойства пар (без доказательств):

1. Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.
2. Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, (рис. 4.2) эквивалентны (действие их на тело аналогично).
3. Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равно­действующей парой.

4. Равновесие пар.

Момент силы относительно точки

Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на те­ло оценивается моментом.

Момент силы относительно точки чис­ленно равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линий действия силы.

Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (рис. 4.4), называется плечом силы.

Обозначение момента Mo(F) или m_О(F);

M_О(F) = Fa.

Единица измерения [m_О(F)] = Н*м.

Момент считается положительным, если сила разворачивает те­ло по часовой стрелке.

Примечание. В разных учебных пособиях знак момента назначается по-разному.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия дей­ствия силы проходит через точку, т. к. в этом случае расстояние от точки до силы равно нулю.

Примеры решения задач

Пример 1. Дана пара сил |F₁| = \F₁¹\ =42 кН; плечо2 м. Заменить заданную пару сил эквивалентной парой с плечом 0,7 м (рис. 4.5).

Решение

Пары сил эквивалентны, если моменты этих пар числен­но равны:

Пример 2. Дана система пар сил (рис.4.6). Определить момент результирующей пары.

Решение

Подставив численные значе­ния, получим:

m₁ = 10 • 0,2 = 2кН*м;

m₂ = - 12 • 0,3 = - 3,6 кН*м;

m₃ = 6 * 1,2 = 7,2 кН*м;

М_∑ = 2 + ( - 3,6) + 7,2 = 5,6 кН*м.

Знак свидетельствует о том, что момент вызывает вращение по часовой стрелке. Величину силы и плеча определить не удается.

Примечание. Чтобы уравновесить данную систему пар, необходимо приложить пару сил, равную по модулю и в обратную сторону. Такую пару сил называют уравновешивающей.

Пример 3. Рассчитать сумму моментов сил относительно точки О (рис. 4.7)

ОА = АВ = BD = DE = CB = 2м.

1. Момент силы относительно точки численно равен произведе­нию модуля силы на плечо силы.

2.

Пример 4. Брус АВ с левой шарнирно-подвижной опорой и правой шарнирно-неподвижной нагружен тремя парами сил (рис. 1.37), моменты которых М₁ =24 кН-м, М₂ = 36 кН-м, М₃ = —50 кН-м. Определить реакции опор.

Решение

1. На брус действуют пары сил; следовательно, и уравновесить их можно только парой, т. е. в точках А и В со стороны опор на брус должны дей­ствовать реакции опор, образующие пару сил. В точке А у бруса шарнирно-подвижная опора, значит ее реакция направлена перпендикулярно опорной поверх­ности, т. е. в данном случае перпендикулярно брусу. Обозначим эту реакцию и направим ее вверх. Тогда в точке В со стороны шарнирно-неподвижной опо­ры действует также вертикальная сила R_B, но вниз.

2. Исходя из выбранного направления сил пары (R_A, Rв), её момент Мо = - R_A *АВ (или М_о= — R_B*BA).

3. Составим уравнение равновесия пар сил:

Подставив в это уравнение значения моментов, получим

24 + 36 — 50 — R_A*2 = 0. Отсюда R_A = 5 кН. Так как силы R_A и R_B образуют пару, то Rb ⁼ Ra ⁼ 5 кН.

Пример 5. Определить величину груза P₁ (рис. 1.13, а), при которой рычаг АВ находится в равно­весии.

Решение

Решение

Рассмотрим равновесие балки АВ, к которой приложены как заданные, так и искомые силы. Освобож­даем балку от связей и заменяем их действие реакциями (рис. 1.14,6). Получили плоскую систему сил.

Выбираем систему ко­ординат (см. рис. 1.14,6).

Составляем три уравне­нияравновесия:

Решая второе и третье уравнения, получаем:

следовательно, опорные реакции определены вер­но.

Пример 7. Для заданной балки (рис. 1.15, а) оп­ределить опорные реакции.

Решение

Рассмотрим равновесие балки АВ, к которой приложены все заданные и искомые силы. Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 1.15, б). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.

Выбираем систему координат (см. рис. 1.15, 6). Для полученной системы сил в рассматриваемом примере целе­сообразно составить следующие три уравнения равнове­сия:

В этом случае в каждое уравнение равновесия войдет только одна искомая реакция:

 

где l cos α — плечо силы R_B относительно точки А. Подставляя числовые значения, находим

 

При определении опорных реакций не было использовано уравнение равновесия ΣP_iv = 0. Если реакции определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на балку, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем

следовательно, реакции определены верно.

Пример 8. Для плоской рамы (рис. 1.16,а) определить опорные реакции.

Решение

Искомые реакции получились положительными; это указывает на то, что предварительно выбранные направ­ления реакций совпадают с действительными.

В качестве проверочного уравнения берем ΣР_tu = 0, так как оно не было использовано для определения опорных реакций.

Проектируя все силы на ось и, получаем

следовательно, реакции опре­делены верно.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие силы из системы сил (рис. 4.8) образуют пары?

F₁=F₂ = F₄; F₃ = F₆; F₅ = 0,9F₆.

2.

3. Какие из изображенных пар (рис. 4.10) эквивалентны, если

F₁ = F2 = 8 кН; F3 = 6,4 кН; а₁ = 2 м; а₂ = 2,5 м?

4. Какую силу необходимо приложить в точке с (рис. 4.11), что­бы алгебраическая сумма моментов относительно точки О была рав­на нулю?

OA = АВ = ВС = 5 м; F₁ = 7,8кН; F₂ = 3 кН.

5. Ответьте на вопросы тестового задания.

ЛЕКЦИЯ 5