Точка приложения силы тяжести

Если в формулахкоординат центра параллельных сил модули сил F_к заменим модулями сил тяжести G_h, то получим формулы координат центра тяжести тела:

Эти формулы используют лишь в тех случаях, когда требуется определить положение центра тяжести неоднородного тела или не­изменяемой системы тел из различных материалов. Обычно опреде­ляют положения центров тяжести однородных тел и тогда из фор­мул следуют три их разновидности.

1. Если тело имеет вид пространственной фигуры, составленной из однородных тонких прутков (т. е. имеет вид решетки или карка­са), то сила тяжести любого прямолинейного или криволинейного участка фигуры

G_h = l_hq,

где q — постоянная для всей фигуры сила тяжести единицы длины материала (интенсивность силы тяжести по длине материала фигуры). После подстановки в формулы вместо G_к его значения l_hq постоянный множитель q в каждом слагаемом числителя и знаменателя вынесем за знак суммы (за скоб­ки) и сократим. В результате получим формулы координат центров тяжести фигур в виде решетки (каркаса):

где x_k, y_k, z_к — координаты центров тяжести отдельных участков фигуры длиной l_к.

1. Если тело имеет вид фигуры, составленной из плоских или изогнутых тонких однородных пластин, то сила тяжести каждого участка такой фигуры

G_h=A_kp,

где A_k — площадь участка, р — сила тяжести единицы площади фигуры (интенсивность силы тяже­сти по площади фигуры). Подставив в формулу вместо G_k его значение A_hq, получим формулы координат центра тяжести фигу­ры, составленной из площадей:

где x_k, y_k, z_к — центры тяжести отдельных участков фигуры пло­щадью А.

1. Аналогичные формулы получим и для тел, составленных из объемов, если в формулах заменим G_h = V_hd, где V_h — объемы участков тела, силы тяжести которых G_к, d — постоянная для всего тела сила тяжести единицы объема (интенсивность силы тяжести по объему тела или, иначе, объемная сила тяжести):

Здесь x_h, y_k, z_k — координаты центров тяжести участков тела с объемами V_k. Для плоских фигур из трех формул используют две. Для плоской фигуры, составленной из линий, прутков,

Для плоской фигуры, составленной из площадей,

При решении задач механики используют чаще последние фор­мулы.

Числители в этих формулах, равные алгебраическим суммам произведений площадей частей плоской фигуры на расстояния их центров тяжести до соответствующей оси, называют статическими моментами плоской фигуры относительно осей.

Следовательно, ΣA_кx_к — статический момент плоской фигуры относительно оси у, ΣA_ку_к — статический момент плоской фигуры относительно оси х.

Обозначив статические моменты соответственно S_y, S_x и приняв во внимание, что ΣА_к = А — площади всей плоской фигуры, по­следние две формулы примут вид

Отсюда

т. е. статический момент плоской фигуры относительно оси абсцисс равен произведению площади фигуры на ординату ее центра тяже­сти, а статический момент относительно оси ординат — произ­ведению площади фигуры на абсциссу ее центра тяжести.

Статический момент плоской фигуры выражается в м³, см³ или в мм³.

Пример. Определить статические моменты прямоугольника со сторо­нами в = 20 см и h = 14 см относительно осей х и у (рис. 1.85, а).

Решение

S_x = Ay_с = 20 * 14 * 7 = 1960 см³,

S_y = Ax_c = 20 * 14 * 10 = 2800 см³, так как центр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении его диагоналей и име­ет координаты х_с = b/2 = 10 см и y_c = h/2 = 7 см.

Из равенства

следует важное свойство статического мо­мента:

статический момент плоской фигуры относительно цент­ральной оси равен нулю.

Действительно, если в примере начало осей координат по­местить в точке С (рис. 1.85, б), то при любом положении осей х и у каждая из них будет центральной и в этом случае х_с=0, у_с=0. Значит, S_x = 0, S_y = 0.