Плоскопараллельное движение тела

Пример 6. Зубчатое колесо зажато между двумя параллельными зубчатыми рейками (рис. 1.51, а). Нижняя рейка неподвижна, верхняя — движется со скоростью v = 4 м/с. Определить скорость точки В.

Решение

Колесо совершает плоскопараллельное дви­жение. Как известно, плоскопараллельное движение мож­но представить как сумму двух движении: поступатель­ного вместе с осью О и вращательного вокруг той же оси.

Тогда скорость точки В можно рассматривать как геометрическую сумму скоростей в поступательном (пере­носном) и во враща­тельном (относитель­ном) движениях (рис. 1.51, б):

где

Как известно, угловая скорость относительного вра­щательного движения не зависит от выбора полюса, поэтому, приняв за полюс точку Р (рис. 1.51, б), найдем

Модуль скорости точки В

Решим пример другим способом. Движение колеса можно рассматривать в любой момент времени как вра­щательное вокруг мгновенного центра вращения. В рас­сматриваемом примере мгновенный центр вращения коле­са — точки касания колеса с неподвижной рейкой (точ­ка Р).

Скорость точки А можно определить как скорость во вращательном движении вокруг точки Р:

откуда

т. е.

Тогда

Пример 7. Цилиндр с выступающим ободом ка­тится без скольжения по горизонтальной поверхности (рис. 1.52). При этом центр цилиндра — точка О движется прямолинейно от начального положения О_х согласно уравнению s = 0,75t³ (s — в метрах,t — в секундах). Опреде­лить скорости точек В и С цилиндра, а также точек А, Е, F и Н, лежащих на ободе цилиндра в мо­мент времениt = 2 с. Диаметр цилиндра d= 1 м, обода D = 1,8 м.

Решение

По за­данному закону дви­жения точки О оп­ределяем ее скорость в момент времени t = 2 с:

приt = 2 с v₀ = 9 м/с.

Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр вращения находится в точке Р. По­этому

Отсюда мгновенная угловая скорость вращения ци­линдра

Найдем расстояния от мгновенного центра скоростей Р до заданных точек:

Для определения расстояния РН рассмотрим прямоугольные треугольники НКО и РКН. Из

треугольника НКО имеем

Теперь определим величины скоростей заданных точек:

Вектора скоростей показаны на рис. 1.52.

Пример 8. В механизме грохота (рис. 1.53, а) кривошипы O₁А и O₂В связаны звеном АВ. Размеры всех звеньев одинаковы: O₁А = O₂В = АВ = 40 см. Криво­шип O₁A равномерно вращается вокруг оси О_х с частотой п_о = 60 об/мин.

Определить угловую скорость звена АВ и скорость точки В для двух положений грохота:

1) когда кривошип O₁A занимает горизонтальное положение,

2) когда криво­шип O₂В занимает горизонтальное положение.

Решение

 

Вычислим скорость точки А ведущего криво­шипа:

Рассмотрим теперь последовательно заданные положе­ния механизма.

1-е положение (рис. 1.53, б). При заданных раз­мерах звеньев угол АВО₂ = 90°. Определим мгновенный центр вращения звена АВ. Нам известны направления скоро­стей двух его точек: v_A и v_B. Мгновенный центр скоростей лежит на пересечении перпен­дикуляров к направлениям скоростей v_A и v_B, т. е. в точке О₂.

Найдем мгновенную угло­вую скорость вращения зве­на АВ:

откуда

Определяем скорость точ­ки В:

2-е положение (рис. 1.53, в). Мгновенный центр скоростей в этом положении находится в точке O_v. Мгно­венная угловая скорость вра­щения звена АВ оказывается равной угловой скорости ведущего кривошипа механизма:

Определяем скорость точки В:

Пример 9. Железнодорожный вагон движется по горизонтальному участку с ускорением а₀ = — 1,6 м/с², имея в данный момент скорость v₀ = 1 м/с. Найти уско­рения точек вагонного колеса, лежащих на концах гори­зонтального и вертикального диаметров (рис. 1.54).

Решение

Движение центра колеса О примем за переносное а_е = а₀. Относительное движение является враща­тельным относительно выбранного полюса О. Найдем угловую скорость и угловое ускорение относительного движения.

Составим выражение скорости точки О в произвольный момент времени:

Рассматривая движение точки О относительно мгно­венного центра скоростей, который совпадает с точкой Р, найдем угловую скорость вращения колеса:

ω = v₀/OP = v₀/R = 1/0,4 = 2,5 рад/с.

Как известно, v = ωR. Продифференцируем полученное уравнение по времени:

Следовательно, a_t = Rε.

В рассматриваемом примере a_t — касательное ускоре­ние точки О в поступательном движении, т. е. a_t = — a₀ (движение замедленное),ε — угловое ускорение колеса во вращательном движении вокруг точки О.

Тогда

Поскольку все исследуемые точки А, В, Р и С нахо­дятся на одинаковом расстоянии от центра колеса, то относительные касательные и нормальные ускорения их по величине соответственно одинаковы и определяются по формулам:

На рис. 1.54 в каждой точке построены три состав­ляющих ускорения:

Два из трех составляющих векторов для каждой точ­ки направлены по одной прямой и складываются алгебраи­чески. Векторные построения, выполненные на рис. 1.54 около точек А, В и Р, позволяют найти величины и на­правления их абсолютных ускорений:

Контрольные вопросы и задания

1. Какое движение называют сложным?
2. Какие движения твердого тела называют простыми?
3. Какие системы координат выбирают при определении скоро­стей твердых тел при сложном движении?
4. Какое движение считают переносным, а какое — относитель­ным?
5. Сформулируйте теорему сложения скоростей.
6. Какое движение называют плоским?
7. Какие способы применяют для определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении?
8. Что такое мгновенный центр скоростей, как его определяют и для чего используют?
9. Ответьте на вопросы тестового задания.

ЛЕКЦИЯ 13

Тема 1.12. Основные понятия и аксиомы динамики. Понятие о трении

Иметь представление о массе тела и ускорении свободного па­дения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.

Знать аксиомы динамики и математическое выражение основ­ного закона динамики.

Знать зависимости для определения силы трения.

Содержание и задачи динамики

Динамика — раздел теоретической механики, в котором уста­навливается связь между движением тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:

• определяют параметры движения по заданным силам;
• определяют силы, действующие на тело, по заданным кине­матическим параметрам движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одина­ково, поэтому тело можно принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его то­же можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться не­одинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рас­сматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику мате­риальной системы.

Аксиомы динамики

Законы динамики обобщают результаты многочисленных опы­тов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматри­вать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах, называют классической механикой.

Первая аксиома (принцип инерции):

Всякая изолированная материальная точка находится в со­стоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т. е. сообщить ей некоторое ускорение, может внеш­няя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в клас­сической механике ее считают величиной постоянной. Единица из­мерения массы — килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)

Зависимость между силой, действующей на материальную точ­ку, и сообщаемым ею ускорением следующая:

F = та,

где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с².

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорцио­нально величине силы и совпадает с направлением силы.

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G = тg,

где g = 9,81м/с², ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона).

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направле­ны по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1):

Откуда

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил).