Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность)

Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.

Определение 1.Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: .

Определение 2.Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую без "дыр". Множество непрерывно.

Свойство непрерывности R.Пусть – произвольные множества из и и выполняется . Тогда и выполняется .

1. Модуль действительного числа и его свойства

Определение.Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а|, определяемое формулой:

Геометрический смысл модуля: | | –расстояние от точки 0 до точки а на числовой оси.

Из определения модуля вытекают его свойства.

Cвойства модуля:

1 . |a|=|-a|.

2 . -|а| а |а|.

3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).

4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).

5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|

6 . |а-b| |а|+|b|

7 . |а-b|³|а|-|b|

8 .|а+b|³|а|-|b|

9 .

10 .

.

11 .

12 . 1)

2)

2.Числовое множество. Примеры числовых множеств. Окрестности. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Достаточное условие существования верхней (нижней) грани множества.

Определение.

Числовое множество – множество, элементами которого являются действительные числа.

Примеры числовых множеств.

1) Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток) .

2) Интервал (открытый промежуток) .

3) Полуинтервалы

1)-3) называются промежутками и обозначаются .

4) Бесконечные промежутки:

, ,

,

вся числовая прямая.

4. Окрестность точки

Пусть .

Определение 1.Окрестностью точки а называется произвольный интервал, содержащий точку а. Обозначается V(a).

Определение 2. -окрестностью точкиа называется интервал с центром в точке а ирадиусом . Обозначается V(a;e).

V(a;e)=(a-e;a+e) или V(a;e)= , V(a;e)= .

У каждой точки существует бесконечно много -окрестностей.

Определение 3.Проколотой -окрестностью точки а называется

-окрестность без точки а. Обозначается

.

= .

Определение 4.

– -окрестность точки + ,

– -окрестность точки - ,

- -окрестность точки .

Определение 5.Односторонние окрестности точки а:

–левая проколотая -окрестностьточкиа,

–праваяпроколотая -окрестностьточки а.

В дальнейшем будем рассматривать только -окрестности. Будем называть их просто окрестностями.

Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств

ПустьЕ – произвольное числовое множество, .

Определение 1. Число называется наименьшим (наибольшим) элементом множестваЕ, если выполняется . Если Е имеет наибольший (наименьший) элемент, то он принадлежит множеству .

Определение 2.МножествоЕ называется ограниченным сверху, если выполнено .

Определение 3.Число b называется верхней границей множества Е, если .

Очевидно, что если b – верхняя граница множестваЕ, то любое число, большее b, также будет верхней границей множества Е. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет множество верхних границ.

Пример 1. ограничено сверху. Одна из верхних границ – число 3. И любое число большее, чем 3 является верхней границей. Например, выполнено .

Определение 4.МножествоЕ называется ограниченным снизу, если выполнено .

Определение 4.1.Число а называется нижней границей множества Е, если .

Определение 5.МножествоЕнеограниченно сверху, если .

Определение 6.Множество Енеограниченно снизу, если : .

Определение 7.МножествоЕ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, то есть выполнено .

Определение 7 .МножествоЕ называется ограниченным, если выполнено .

Замечание.Определения 7 и 7 эквивалентны (равны).

8.Множество называется неограниченным, если : .

Определение 9.Верхней гранью множестваЕ (или точной верхней границей множества Е) называется наименьшая из всех верхних границ множества Е. Обозначается (супремум) или .

Определение 9 . 1) выполнено ,

2) .

Условие 2) можно заменить: .

Определение 10.Нижней гранью множества Е (или точной нижней границей множества Е) называется наибольшая из всех нижних границ множества Е.

Обозначается m=infE (инфимум) или .

infEможет как принадлежать так и не принадлежатьмножеству E.

Определение 10 . 1) выполнено ,

2) .

Условие 2) можно заменить: .

Условие 1) означает, что число mявляется нижней границей.

Условие 2) означает, что число m является наибольшей из нижних границ (то есть её нельзя увеличить).

Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Определение 11. Если множествоЕ не ограничено сверху, то . Если множество Е не ограничено снизу, то

3.Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности.

Определение 1.Если каждому натуральному числу nпо некоторому правилу поставить в соответствие некоторое число x_n, то говорят, что определена числовая последовательность Её обозначают: или .

Определение 2.Последовательность называется ограниченнойсверху(снизу), если выполняется .

Определение 3.Последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если >k ( <k).

Определение 4.Последовательность называется ограниченной, если выполнено .

Определение 5.Последовательность называется неограниченной, если : .

Определение 6.Последовательность называется возрастающей (убывающей), если выполнено ( ).

Определение 7.Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если выполнено ( ).

Определение 8.Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

4.Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Стационарная последовательность и ее предел. Единственность предела последовательности.

Пусть дана последовательность : (1)

Определение 1.Числоа называется пределом последовательности , если выполнено . (2)

Обозначается: или или .

Если последовательность имеет предел а, то она называется сходящейсяка.

Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся.

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если выполнено .

Геометрический смысл предела последовательности

Числоа является пределом последовательности , если в любой e – окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого (не принадлежит этой окрестности лишь конечное число членов).

Стационарная последовательность - пос-ть, у которой все ее члены равны одному и тому же числу. ЕЕ предел равен этому числу.

Теорема 1.Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательноb-а=0 и значит, а=b.

Полученное противоречие доказывает теорему.

5.Необходимое условие сходимости последовательности. Теорема о связях между последовательностями и их пределами (предельный переход в неравенствах, теорема о пределе промежуточной последовательности).

Теорема 2. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М= . Тогда "n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема 4.(предельный переход в неравенствах) Если , и "n>N выполняется , то .

Отметим, что из строгого неравенства не следует строгое, а следует нестрогое: .

Теорема 5. (О пределе промежуточной последовательности)

Пусть , , – последовательности, удовлетворяющие условию

"n>N₀. (1)

Если , то .

6.Понятие бесконечно малой последовательности, геометрический смысл. Свойства бесконечно малой последовательности.

Определение 1.Последовательность называется бесконечно малой (БМП), если .

Это означает, что выполнено .

Геометрический смысл. Геометрически это означает, что в любой (сколь угодно малой) окрестности нуля находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера .

Теорема 1.Сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

Теорема 2.Произведение БМП на ограниченную последовательность есть БМП.

Из теоремы 1 и 2 вытекают следствия.

Следствие 1.Если БМП, , то – БМП.

Следствие 2.Разность двух БМП есть БМП.

Следствие 3. Произведение двух БМП есть БМП.

Следствие 4.Произведение БМП и сходящейся последовательности есть БМП.

Замечание 1. Случай произведения 2-х БМП последовательностей можно обобщить для любого конечного числа БМП.

Замечание 2. Для частного двух БМП аналогичное утверждение не верно, то есть если , – БМП, то может и не быть БМП.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность).

Теорема 3.(Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где – БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .

По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то "n>NÞ .

8.Понятие бесконечно большой последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями.

Определение 1.Последовательность называется бесконечно большой, если выполняется .

Для обозначения ББП используется запись .

Теорема 1. 1) Если – ББП, причем то – БМП;

2) если – БМП и то – ББП.

9.Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного сходящихся последовательностей. . Неопределенности вида , , , . Примеры.

1. Частное . 1) , .

2) , .

3) , .

4) , (аналогично).

5) .

Отношение двух БМП. Это отношение может иметь предел (конечный или бесконечный), а может и не иметь предела в зависимости от конкретного способа задания последовательностей и . Поэтому отношение двух БМП называется неопределенностью вида .

Если предел отношения найден или доказано, что он не существует, то говорят, что неопределенность раскрыта.

6)

– отношение двух ББП – неопределенность вида .

2. Сумма .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

3. Произведение .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

1.

2. , где a>0.

3. .

10.Понятие невозрастающей и неубывающей последовательности. Верхняя и нижняя грани последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение 1.Верхней гранью последовательности называется верхняя грань множества значений элементов этой последовательности.

Обозначается .

Если множество значений элементов последовательности ограничено сверху, то есть число: Если множество значений неограниченно сверху, то .

Определение 2.Нижней гранью последовательности называется нижняя грань множества значений этой последовательности.

Обозначается infx_n.

Если множество значений элементов последовательности ограничено снизу, то . Если множество значений не ограничено снизу, то

Теорема 1. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1' для этого e выполняется два условия:

1) ,

2)

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

 

 

11.Определение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Геометрический смысл предела функции.

Определение 1(по Гейне). ЧислоА называется пределом функции f(x) в точке а (или при х®а), если для любой последовательности (х_n) точек из , сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции (f(x_n)) сходится к числу А.

Обозначается или .

Таким образом, , выполнено (f(x_n)) A. Второе определение предела функции (по Коши).2. ЧислоА называется пределом функции f в точке а, если >0 >0: : 0< < выполнено .

Это определение называют определением предела “на языке ”.

Так как неравенство 0< < означает, что , а неравенство - что , то получаем определение “на языке окрестностей”.

Теорема. Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны.

Итак, геометрический смысл предела функции состоит в следующем. ЧислоА является пределом функции f в точке а, если для любой, сколь угодно малой, e- окрестности точки А найдется d - окрестность точки а, такая что для всех х соответствующие значения функции .

 

12.Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через односторонние пределы).

Односторонние пределы

Рассмотрим понятие предела функции при стремлении к точке справа или слева. При этом заменяется на или на .

Обозначим через левую окрестность точки а, – правую окрестность точки а.

Определение 1. (по Гейне) Число A называется левым (правым) пределомфункцииf(x) в точкеa, если , соответствующая последовательность значений функции (f(x_n)) сходится к A.Определение 2. (по Коши) ЧислоА называется левым (правым) пределом функции f(x) в точкеа, если : : a-d<x<a (a<x<a+d)выполняется неравенство .

Обозначается – левый предел, – правый предел.

Определение 1 и определение 2 эквивалентны.Правый и левый предел функции в точке называются односторонними пределами в точке.

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке aнеобходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а:

Доказательство.

1) Необходимость.

и . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А. Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.

13.Теорема о единственности предела функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке.

Теорема 1. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (x_n): x_n a. Рассмотрим (f(x_n)). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, чтоА=В.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 2. Если , то ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.

 

 

14.Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функции.

Теорема 4. Пусть 1) ;

2) .

Тогда .

 

Теорема 5. Пусть , иА<B (A>B).

Тогда : : выполняется ( ).

Теорема 6. Если и А<B (A>B), то : : выполняется ( ).

Теорема 7. (Предельный переход в неравенствах)

Пусть , и : : выполняется ). Тогда .

Теоремы, связанные с арифметическими операциями над пределами

Теорема 8. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точкеа существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В ( ) .

15.Виды неопределенностей. Примеры. Теорема о пределе сложной функции.

Бесконечные пределы и неопределенности

(дополнения к теореме 8 §6)

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

---

12345Следующая ⇒

---

Просмотров 6313

Эта страница нарушает авторские права

---