Производные основных элементарных функций

29.Производные высших порядков. Вычисление n-й производной от суммы и произведения. Производные высших порядков элементарных функций: , , , , , .

30. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа).

31. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя.

32. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Формула Маклорена. Разложение функций , , , , в ряд Маклорена.

33. Признак постоянства функции на отрезке. Признак монотонности функции на отрезке. Достаточное условие монотонности.

34. Понятие максимума и минимума функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Понятие критической и стационарной точек. Достаточные условия экстремума. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке.

35. Понятие функции, выпуклой вверх (вниз). Точка перегиба функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.

36. Асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

37.Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

38. Таблица основных интегралов.Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях.

39.Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование простейших дробей.

40.Метод неопределенных коэффициентов.

Необходимый минимум теорем с доказательствами

Теорема.Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательно b-а=0 и значит, а=b.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М= . Тогда "n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема.(Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где - БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .

По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то "n>N Þ .

Теорема. Если , , то

1) ,

2)

Доказательство.

По теореме -необходимое и достаточное условие сходимости- , , где , .

1) .

Так как - БМП, то .

2)

- БМП, - БМП, -БМП. Следовательно, .

Теорема . 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1' для этого e выполняется два условия:

1) ,

2)

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а:

Доказательство.

1) Необходимость.

и . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А. Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.

Теорема. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (x_n): x_n a. Рассмотрим (f(x_n)). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, что А=В.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точке а существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В ( ) .

Теорема. 1) Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций в точке а является бесконечно малой функцией в точке а.

2) Произведение бесконечно малой функции в точке а на ограниченную в окрестности точки а функцию является бесконечно малой функцией в точке а.

Доказательство.

1) Пусть f(x), g(x) - бесконечно малые в точке а функции. Докажем, что f(x)+g(x) - бесконечно малая функция в точке а . Выберем . По определению: выполняется ,

выполняется .

Возьмём Þ выполняется .

Разность и произведение – аналогично: ,

(можно взять не , а ).

2) Пусть f(x) – ограничена в окрестности точки а, а g(x) - бесконечно малая функция в точке а.

Тогда по определению существует выполняется ;

выполняется .

Возьмём Þ выполняется Û .

Теорема.

1) Пусть f(x) - бесконечно большая функция при . Тогда - является бесконечно малой функцией при ;

2) Пусть f(x) - бесконечно малая функция при и . Тогда - бесконечно большая функция при .

Доказательство.

1) Пусть . Выберем и положим .

Û для выбранного выполняется (так как , то есть в , то имеет смысл) . 2) аналогично.

Теорема. Если при a(х) ~ a₁(х) , b(х) ~ b₁(х) и существует , то существует , то есть .

Доказательство.

В справедливо: .

Так как существует , существует и существует , то существует .

Теорема 2.Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x₀, то (если ) непрерывны в точке x₀.

Доказательство.

Доказательство следует из теоремы арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .

Так как и непрерывны в точке x₀, то по определению 1 и . Тогда по теореме о пределе суммы = .

Следовательно, функция непрерывна в точке x₀.

Теорема(необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно_, чтобы она в этой точке имела производную , при этом .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f(x) дифференцируема в точке х_0, т. е. , где . Пусть . Тогда .

Так как существует правой части: , то существует и левой части: , и эти пределы равны: .

2) Достаточность.

Пусть существует , то есть существует . Тогда по необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке , где - бесконечно малая при . Следовательно, по определению (1) f(x) дифференцируема в точке х_0.

Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и (при условии, что ) частное, при этом справедливы равенства

, (1)

, (2)

. (3)

Доказательство.

1) Пусть . Придадим переменной х приращение . Тогда функции u и v получат приращения Du и Dv соответственно. Тогда

,

. (4)

Пусть , так как u и v дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Следовательно, существует правой части равенства (4): . Значит, и существует и левой части .

Переходя в (4) к , получим .

2) Пусть y=u(x)v(x). Придадим точке х приращение . Функции u=u(x) и v=v(x) получат приращения . Тогда

,

. (5)

Пусть . Так как u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Так как функция u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке, значит, Поэтому существует

.

Так как существует правой части равенства (5), то существует и левой части, то есть существует . Переходя в (5) к получим

.

Теорема (Свойства неопределённого интеграла)

1. ,

Доказательство.

.

2.

Доказательство.

dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx Þ .

3. Если f(x) имеет первообразную на <a;b> и к≠0, то функция кf(x) тоже имеет первообразную на <a;b>, причём

. (1)

Доказательство.

(kF(x))'=kF'(x)=кf(x) Þ функция kF является первообразной для kf на <a;b> =>

Далее . Итак, левая часть равенства (1) представляет собой совокупность функций kF(x)+C₁, а правая состоит из функций вида kF(x)+kC. В силу произвольности С₁ и С оба множества совпадают.

4. Если функции f и g имеют первообразные на <a;b>, то и функция f±g имеет на <a;b> первообразную, причём

. (2)

Доказательство.

Пусть =F(x)+C₁, =G(x)+C₂.

Рассмотрим функцию Ф(x)=F(x)±G(x),

Ф'(x)=F'(x)±G'(x)=f(x)±g(x) Þ . Следовательно, левая часть равенства (2) состоит из функций F(x)±G(x)+C, а правая из функций (F(x)+C₁)±(G(x)+C₂)= F(x)±G(x)+C₁±C₂. Ввиду произвольности С₁, С₂, С эти множества совпадают.

Свойства 3 и 4- линейные свойства интеграла.

Cвойства модуля:

1 . |a|=|-a|.

1) Пустьа>0. Тогда |а| = а. Если а>0, то –а<0 и |-а|=-(-а)=а |а|=|-а|= а.

2) Пустьа<0. Тогда |а|= -а. Если а<0, то -а>0 и |-а|= -а |а|=|-а| = -а.

2 . -|а| а |а|.

I. Докажем, что -|а| а

1) а>0. Тогда -|а| = -а, -а<а, то есть -|а|<а,

2) а<0. Тогда -|а|= -(-а). Итак, -|а|£а.

II. Докажем, что а |а|

1) a>0. Тогда |а| = а и получаем равенство

2) a<0. Тогда |а| = -а, -а>0 и а <-а Þa<|а|.

Итак,в любом случае а |а|.

3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).

1) Докажем (1) |х| b -b х b (2).

(1) -|х| -b. По свойству 2 -|х| х |х| -b -|х| х |х| b, то есть -b х b.

2) Докажем, что (2) (1).

Имеем -b х b. Так как х b и b 0, то -х b. Но |х| равен либо х, либо –х |х| b.

Пример 1. а) ;

б) |х|< <x<7.

4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).

1) Необходимость.

Имеем |х| b.

Если , то |х|=

Если , то |х|=

2) Достаточность.

Имеем , но |х|=х или |х|=-х |х| .

Пример 2.

а) б)

5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|

(Модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел).

По свойству 2 : +

По свойству 3 |а+b| |а|+|b|.

Замечание.С помощью метода математической индукции неравенство треугольника можно обобщить конечного числа слагаемых:

.

1) Для п=2 неравенство доказано.

2) Предположим, что оно верно для п=k . Докажем, что оно верно для п=k+1.

верно для п=к+1.

6 . |а-b| |а|+|b|

Доказательство из 5 заменой b на -b.

7 . |а-b|³|а|-|b|

8 .|а+b|³|а|-|b|

Доказательство из 7 заменой b на -b.

Из 5 -8

9 .

По свойству 7 |а-b|³|а|-|b| Þ |b-a|³|b|-|a| или |а-b|³|b|-|a| Умножим на (-1)

Þ -|а-b|£|а|-|b|

Получим: По свойству 3 Þ .

10 .

.

Докажем для произведения (частное аналогично).

Возможны 4 случая:

1)

2)

3) аналогично 2)

4) .

11 .

Пример 3.а)

б)

в)

12 . 1)

2)

1) ,

2) Û .