Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла

Определение 1. Функция F называется первообразной функцией (или первообразной) для функции fна (а;b), если F дифференцируема на (а;b) и F'(x)=f(x).

Если fопределена на [а;b], то F имеет производные F'(а+0)=f(а+0), F'(b–0)=f(b-0).

Определение 2.Множество всех первообразных для функции f(x) на (а;b) называется неопределённым интегралом от функции f на интервале (а;b) и обозначается .

Теорема (Свойства неопределённого интеграла)

1. ,

Доказательство.

.

2.

Доказательство. dF(x)=F'(x)dx=f(x)dxÞ .

3. Если f(x) имеет первообразную на <a;b> и к≠0, то функция кf(x) тоже имеет первообразную на <a;b>, причём

. (1)

Доказательство.

(kF(x))'=kF'(x)=кf(x) Þ функция kF является первообразной для kf на <a;b> =>

Далее . Итак, левая часть равенства (1) представляет собой совокупность функций kF(x)+C₁, а правая состоит из функций вида kF(x)+kC. В силу произвольности С₁ иС оба множества совпадают.

4. Если функции f и g имеют первообразные на <a;b>, то и функция f±g имеет на <a;b>первообразную, причём

. (2)

Доказательство.

Пусть =F(x)+C₁, =G(x)+C₂.

Рассмотрим функцию Ф(x)=F(x)±G(x),

Ф'(x)=F'(x)±G'(x)=f(x)±g(x) Þ . Следовательно, левая часть равенства (2) состоит из функций F(x)±G(x)+C, а правая из функций (F(x)+C₁)±(G(x)+C₂)=F(x)±G(x)+C₁±C₂. Ввиду произвольности С₁, С₂, С эти множества совпадают.

Свойства 3 и 4- линейные свойства интеграла.

Таблица основных интегралов. Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях.

Примеры.

1. – интеграл Пуассона

2. интегралы

3. Френеля

4.

5.

6.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

39. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование простейших дробей.

I. Метод введения нового аргумента

По определению неопределённого интеграла , xÎ<a;b> - независимая переменная. Эта формула инвариантна относительно х, т.е. в формуле х может быть как независимой переменной, так и непрерывно дифференцируемой функцией.

Теорема1.Если , то где u=φ(x) – непрерывно дифференцируемая функция.

II. Метод подстановки

Теорема 2.Пусть y=f(x) непрерывна на ∆_x, x=φ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая на ∆_t. Пусть определена сложная функция f(φ(t)) на ∆_t (множеством значений функции φ(t) является промежуток ∆_x). Тогда

. (3)

Линейная подстановка

.

Докажем двумя способами (с помощью I и II)

1 способ.

.

2 способ.

.

III. Интегрирование по частям

Теорема 3.Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на промежутке ∆. Пусть на ∆ функция имеет первообразную. Тогда функция на ∆ имеет первообразную и справедлива формула

. (4)

Замечание.Т.к. v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то (4) можно записать в виде

. (6)

Формула (6) сводит вычисление к вычислению , что иногда бывает легче сделать. Для применения (6) надо подынтегральное выражение разбить на 2 сомножителя u и dv (в dv входит dx).

Выделим основные типы интегралов, вычисляемые методом интегрирования по частям.

I.Подынтегральная функция имеет вид P(x)e^ax, P(x)cosax, P(x)sinax, где P(x) – многочлен, a . В таких интегралах за u(x) надо принять многочлен P(x) и формулу интегрирования по частям применять столько раз, какова степень многочлена.

II.Подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

В этом случае за u(x) надо взять эту функцию.

III.Подынтегральная функция имеет вид: e^axsinbx, e^axcosbx, cos(lnx), sin(lnx).

Формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причём оба раза за u(x) выбирается одна и та же функция (либо показательная, либо тригонометрическая). После этого получается линейное уравнение относительно исходного интеграла.

IV.С помощью метода интегрирования по частям можно вывести так называемые рекуррентные формулы, дающие возможность свести некоторые интегралы к интегралам того же типа, но более простым по своей структуре.

Определение.Рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция вида = , где P_n, Q_m – многочлены степеней n и m соответственно. Если n<m, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае (n≥m) – неправильной.

Если рациональная дробь неправильная, то её с помощью деления можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной рациональной дроби, т.е. = + , где P_n-m(x) – многочлен степени n – m, r<m .

Примеры.

1)Метод деления

4x⁴– 3x³+ x² – 1 x²- 3x+ 1

4x⁴–12x³+4x² 4x² +9x+24

9x³ – 3x²- 1

9x³–27x² + 9x

24x² – 9x – 1

24x²–72x + 24

63x – 25

2)Метод преобразований

.

2. Интегрирование простейших дробей.

Определение.Простейшими дробями называются дроби следующих четырёх типов:

1) ; 2); 3); 4) ,

где A, M, N, a, p, q , трехчлен не имеет действительных корней (т. е. D=p²–4q<0).

1) ;

2) ;

3) .

В числителе выделяется выражение равное производной знаменателя. Разделив затем почленно, получим табличный интеграл и интеграл вида

, который вычисляется путём выделения полного квадрата в знаменателе.

Теорема 1.Если Q(x) – многочлен степени n с действительными коэффициентами, то его можно единственным образом разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Если a₁, a₂, …, a_n – действительные корни кратности m₁, m₂, …, m_r соответственно, – комплексные корни кратности μ₁, μ₂, …, μ_s соответственно, то разложение Q(x) на неприводимые множители имеет вид:

(1),

где .

Теорема 2.Если - правильная рациональная дробь, а разложение Q(x) на неприводимые множители имеет вид (1),то справедливо разложение:

. (2)

Теорема 2 утверждает, что любую рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей.