Непрерывность суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции

Теорема 2.Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x₀, то (если ) непрерывны в точке x₀.

Доказательство.

Доказательство следует из теоремы арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .

Так как и непрерывны в точке x₀, то по определению 1 и . Тогда по теореме о пределе суммы = .

Следовательно, функция непрерывна в точке x₀.

2. Непрерывность сложной функции

Пусть функция t=g(x) определена на D(g), а функция y=f(t) определена на D(f), и "xÎD(g) t=g(x)ÎD(f). Тогда на D(g) определена сложная функция y=h(x)=f(g(x)).

Теорема 3. Если функция t=g(x) непрерывна в точке x₀ÎD(g), а функция y=f(t) непрерывна в точке , то сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке x₀, т.е. . (6)

Доказательство следует из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределе сложной функции.

Замечание. Так как , то из (6) следует

(7)

т.е. операция предела переставима с операцией вычисления непрерывной функции. Причем (7) выполняется и в том случае когда g(x) не является непрерывной в точке x₀.

Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва и их классификация.

Определение 1. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f(x₀-0), f(x₀+0).

Величина называется скачком функции в точке x₀.

Определение 2. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой устранимого разрыва, если , т.е. (но либо , либо ).

Если x₀ – точка устранимого разрыва, то разрыв можно устранить, если доопределить или переопределить функцию в точке x₀, положив . Тогда непрерывна в точке x₀.

Определение 3. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва II рода, если в точке x₀ не существует или равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

Теорема 2.Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x₀, то (если ) непрерывны в точке x₀.

Теорема 3.Основные элементарные функции непрерывны на области определения.

Определение 1.f(x) называется равномерно непрерывной на промежутке (a;b), если .

Определение 2.f(x) не является равномерно непрерывной на <a;b> если

Теорема 1. Если f(x) равномерно непрерывна на то она непрерывна на

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Теорема 2(Кантора).

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно непрерывна на [a;b].

Понятие производной функции в точке. Геометрический и физический смысл производной.

Определение 1.Производной функции f в точке х₀называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается: , , , , .

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х₀;f(x₀)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: