Начисление годовых процентов при дробном числе лет

Сложные проценты

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу

после и начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называю капитализацией процентов.

Формулы наращения

Формулы наращения по сложным процентам

Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(l + i), через 2 года - Р(1 + i) (1 + i)=P , через n лет - Р Таки образом, получаем формулу наращения для сложных процентов

S=P (15.20)

где S — наращенная сумма; i — годовая ставка сложных процентов; n — срок ссуды; — множитель наращения.

В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, кварта и т. д.).

Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель

(1 +i).

Наращенные сумм по формулам простых и сложных процентов (множитель наращения, соответственно, (1 + ni) и различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем это на примере.

Пример 9.

Исходная сумма кредита 100 000 ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процента за 0,5 года, 1 год и 2 года.

Решение.

= 100 000 • (1 + 0,5 • 0,3) = 115 000 ден. ед.

= 100 000 • (1 + 1 • 0,3) = 130 000 ден. ед.

= 100 000 • (1 + 2 • 0,3) = 160 000 ден. ед.

= 100 000 • =114 017 ден. ед.

= 100 000 • = 130 000 ден. ед.

= 100 000 • = 169 000 ден. ед.

Результаты расчетов запишем в таблицу.

Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие выводы:

1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку;

2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равны результатам;

3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.

Формула наращения по сложным процентам

При изменении ставки во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется в времени, формула наращения имеет следующий вид

S=P ,

где — последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды соответственно.

Пример 10.

В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15 % годовых, плюс маржа 6 % в первые два года, 8 % — в третий год, 10 % — в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение.

Формулы удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитор и должник интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результат получим:

а) для простых процентов (1 + )= N, тогда

n=(N 1)/ ;

(15.21)

б) для сложных процентов = N, тогда

n=InN/In (1+ ).

(15.22)

Для случая N=2 формулы (15.21) и (15.22) называются формулами

удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов

n= I/ ;

(15.23)

б) для сложных процентов

n=In 2/In (1 + ).

(15.24)

При небольших ставках процентов (мене 10%) вместо формулы (15.24) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что In2 ≈ 0,7, a In (I + i) ≈ i. Тогда

n ≈ 0,7/i .

Приме 11.

Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и

сложных процентов, равной 3 %. Дл ставки сложных процентов расчет выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить.

Решение.

а) для простых процентов,

n= I/ =1/0,03 = 33,33 лет;

б) при сложных процентах, вычисленных по точной формуле,

n=In 2/In (1 + ) = 0,6931 In (1 + 0,03) = 23,45 лет;

в) при сложных процентах, вычисленных по приближенно формуле:

n ≈ 0,7/i ≈ 0,7/0,03 ≈ 23,33 лет.

Таки образом, одинаково значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формул дают практически одинаковые результаты.

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) по формуле сложных процентов

S=P ;

2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное — простые,

S=P ,

(15.26)

где n=a + b , а — целое число лет, b — дробна част года;

3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.

S=P .

(15.27)