Формулы современной величины

Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка г, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты п. Тогда дисконтированная величина первого платежа

где ­­­­­­­­ - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv2 и т. д. Таким образом, приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: , сумма которой

Где

— коэффициент приведения ренты.

Коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты п и процентной ставки г. Поэтому его значения представлены в табличном виде. Рента р-срочная, р ≥ 1, т ≥ 1

Аналогично можно получить формулу для расчета современной величины ренты в общем случае для произвольных значений р и т:

Зависимость между современной величиной и наращенной суммы ренты.

Пусть А — современная величина годовой ренты постнумерандо, а S— ее наращенная стоимость к концу срока п, р = 1, т = 1. Наращение процентов на сумму А за п лет дает сумму, равную S:

Отсюда следует, что дисконтирование S дает А:

Коэффициент приведения (дисконтирования) и наращения ренты связаны соотношениями

Определение параметров финансовой ренты

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальных параметров ренты: R, n, i, р, т. Такие параметры, как тир, обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, п, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается.

Определение размера ежегодной суммы платежа R

В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана, S или А, возможны два варианта расчета:

или

Определение срока постоянной ренты

Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и A

относительно срока п, получаем, соответственно, следующие два выражения:

Последнее выражение имеет смысл только при R > Ai.

Определение ставки процентов

Для тогочтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида:

которые эквивалентны двум другим:

В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка i Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: метод линейной интерполяции, метод Ньютона — Рафсона и др.

Рассмотрим метод линейной интерполяции.

Найдем с помощью прикидочных расчетов нижнюю ( ) и верхнюю ( ) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (15.92) различных числовых значений i и сравнения результата с левой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле, полученной из общего курса математики:

в которой — значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с левой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (15.93),заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение множителя наращения (или приведения).

Пример 22.

Для проведения замены оборудования предприятию необходимо за 10 лет накопить 2 млн ден. ед. Ежегодно она может вносить в банк для этой цели 100 000 ден. ед. на специальный счет. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкладывать эти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок?

Определим ., для нескольких произвольных значений процентных ставок. Так для i = 0,14

Для i=0,15

Действительное значение процентной ставки лежит в интервале 0,14 < i < 0,15, так как 19,26 < 20 < 20,33.

Воспользуемся формулой (15.93) и найдем действительное значение

процентной ставки:

Таким образом, процентная ставка должна составлять i= 14,69 %.