Номинальная и эффективная ставки процентов и их учет

Номинальная ставка

Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется поминальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

S=P(l+j/m)^N

(15.28)

где N — число периодов начисления, N= mn.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1) по формуле сложных процентов

S = P(1+j/m)^N/t

(15.29)

где N/t — число периодов начисления процентов, t — период начисления процентов;

2) по смешанной формуле

S = Р (1 +j/m)^a (1 + bj/m)

(15.30)

где а— целое число периодов начисления, т. е. а = [N/t] — целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления t, — оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/t - a).

Пример 12.

Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях:

• на дробную часть начисляются сложные проценты;

• на дробную часть начисляются простые проценты;

• дробная часть не учитывается.

Результаты расчетов сравнить.

Решение.

Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес:

1) S = 20 • (1 + 0,6/4)^28/3 = 73,713 млн ден. ед.;

2) S = 20 • (1 + 0.6/4)⁹ (1 + 0,6/4 • 1/3) = 73,875 млн ден. ед.;

3) S = 20 • (1 + 0,6/4)⁹ = 70,358 млн ден. ед.

Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.

Эффективная ставка

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+iэ)=(1+j/m)^mn

(15.31)

где iэ — эффективная ставка, а j — номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

iэ=(1+j/m)^m-1

(15.32)

Обратная зависимость имеет вид

j=m[(1+iэ)^1/m-1]

(15.33)

Пример 13.

Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0,12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежмесячной и ежеквартальной капитализации процентов.

Решение.

По формуле (15.32) получаем:

iэ = (1 + j/m)^m - 1 = (1 + 0,12/12)¹² - 1 = 1,192 - 1 = 0,192.

iэ = (1 +j/m)^m - 1 = (1 + 0,12/4)⁴ - 1 = 1,1255 - 1 = 0,1255.

Пример 14.

Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых.

Решение.

Использование формулы (15.33) дает:

j = m [ ( l + iэ)^t/m-1] = 4[(l + 0,12)^1/4 -1]= 0,115.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета — математический и банковский.

Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения:

S=P(1+i)ⁿ,

из нее найдем Р:

P=S/(1 + i)ⁿ = Svⁿ

(15.34)

Где

Vn=1/(1+i)ⁿ=(1+i)^-n

(15.35)

— учетный, или дисконтный, множитель.

Если проценты начисляются m раз в году, то

P=S/(l+j/m)^mn=SV^mn

(15.36)

где

V^mn = 1/(1 +j/m)^mn = (1 +j/m)^-mn

(15.37)

— дисконтный множитель.

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

Р = S(1-dсл)ⁿ

(15.38)

где dсл — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт определяется как

D=S-P=S-S(1-dсл)ⁿ=S[1-(1-dсл)ⁿ]

(15.39)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Номинальная учетная ставка процентов

В тех случаях, когда дисконтирование применяют т раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой

P = S(1-f/m)^N

(15.40)

где N= mn — общее число периодов дисконтирования.

Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Эффективная учетная ставка

Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе m дисконтирований в году.

В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем

ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей:

(1-f/m)^mn=(1-dсл)ⁿ

из которого следует, что

dсл=1-(1-f/m)^m

(15.41)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.