Алгебраическое представление двоичных чисел

Во всех без исключения ЭВМ все операции выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения.

Для алгебраического представления чисел, т.е. для представления чисел с учетом их знака,
в ЭВМ используются специальные коды:

- прямой код;

- обратный код;

- дополнительный код двоичных чисел.

При этом два последних кода позволяют заменить неудобную для компьютера операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом. Дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в компьютере применяется чаще именно он.

Прямой коддвоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единица) перед его старшим числовым разрядом.

А₁₀= +10; А₂ = +1010; [А₂]п = 0 1010;

В₁₀ = -15; В₂ = -1111; [В₂]п = 1 1111.

Точечной вертикальной линией здесь отмечена условная граница, отделяющая знаковый разряд от значащих.

Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

А₁₀= +5; А₂ = +101; [А₂]п =[А₂]ок= 0 101;

В₁₀ = -13; В₂ = -1101; [В₂]ок = 1 0010.

Свое название обратный код чисел получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Укажем наиболее важные свойства обратного кода чисел:

- сложение положительного числа С с его отрицательным значением в обратном коде дает так называемую машинную единицу МЕок=1 111...11, состоящую из единиц в знаковом и в знача-щих разрядах числа;

- нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть как положительным числом – 0 00...0, так и отрицательным – 1 11...11. Значение отрицательного нуля совпадает с МЕок. Двойственное представление нуля явилось причиной того, что в современных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополнительным кодом.

Дополнительный кодположительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа
с единицей младшего разряда (2⁰ – для целых чисел, 2^-k– для дробных).

А₁₀= +19; А₂ = +10011; [А₂]пк =[А₂]ок= [А₂]дк =0 101;

В₁₀ = -13; В₂ = -1101; [В₂]дк = [В₂]ок + 2⁰= 1 0010 + 1=1 0011.

Укажем основные свойства дополнительного кода:

- сложение дополнительных кодов положительного числа С с его отрицательным значением дает так называемую машинную единицу дополнительного кода:

МЕдк = МЕок + 2⁰ =10 00...00,

т.е. число 10 (два) в знаковых разрядах числа;

- дополнительный код получил такое название потому, что представление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы МЕдк.

Модифицированные обратные и дополнительные кодыдвоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак «–» – двумя единичными разрядами.

А₁₀= +9; А₂ = +1001; [А₂]пк =[А₂]ок= [А₂]дк = 0 1001;

[А₂]мок = [А₂]мдк = 00 1001;

В₁₀ = -9; В₂ = -1001; [В₂]ок =1 0110; [В₂]дк = 1 0111;

[В₂]мок = 11 0110; [В₂]мдк= 11 0111.

Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение случаев получения неправильного результата, когда значение результата превышает максимально возможный результат в отведенной разрядной сетке машины. В этом случае перенос из значащего разряда может исказить значение младшего знакового разряда. Значение знаковых разрядов «01» свидетельствует о положительном переполнении разрядной сетки, а «10» – об отрицательном переполнении. В настоящее время практически во всех моделях ЭВМ роль удвоенных разрядов для фиксации переполнения разрядной сетки играют переносы, идущие в знаковый и из знакового разряда.