Статистичні показники: середні величини

1. Поняття "середня величина" та умови її використання.

2. Види середніх величин.

3. Структурні (або порядкові) середні.

1.Серед узагальнюючих показників, які застосовують для характеристики суспільних явищ і виявлення закономірностей їхнього розвитку, велике значення мають середні величини. Середні величини – це узагальнююча міра ознаки, що варіює, у статистичній сукупності, тобто це узагальнюючий показник, який характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Умови наукового використання середніх величин:

·якісна однорідність сукупності;

·сукупність має бути достатньо великою;

·загальна середня повинна доповнюватися груповими середніми;

·крім середньої величини необхідно визначати показники варіації, які характеризують відхилення варіантів один від одного та від середньої.

2.Встатистиці використовують різні види середніх величин. Застосування того чи іншого виду середньої залежить від виду ряду розподілу, змісту ознаки і мети використання. Критерієм правильного вибору виду середньої величини є запис логічної формули її розрахунку.Виділяють наступні види середніх величин:

1) середня арифметична;

2) середня гармонійна;

3) середня геометрична;

4) середня квадратична;

Кожна з цих середніх може розраховуватися як для незгрупованих даних – проста середня, так і для згрупованих даних – зважена середня.

5) середня хронологічна.

Логічна формула розрахунку середньої величини: середня величина = загальний обсяг ознаки / загальний обсяг сукупності.

Розрахункові формули, мету і критерії застосування того чи іншого виду середньої величини подамо у таблиці.

Вид середньої величини	Критерій вибору виду	Розрахункова формула	Інша інформація
простої	зваженої
Середня арифметич-на	Є однією з найбільш поширених середніх. Її використовують для характеристики рядів розподілу. Середня арифметична проста використовується в тих випадках, коли розрахунок здійснюється за не згрупованими даними, тобто тоді коли всі варіанти зустрічаються один раз або мають одинакові частоти m в їх досліджуваній сукупності. Середня арифметична зважена використовується у випадках, коли окремі значення ознаки, за якими розраховується середня величина, можуть повторюватися по кілька разів, тобто в тих випадках, коли розрахунок здійснюється за згрупованими даними.		або ,   де di - частка у відсотках, (di=mi/∑mi)	Для визначення середньої в інтервальному варіаційному ряді, необхідно спочатку перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого визначають середнє значення інтервалу кожної групи (середнє значення інтервалу дорівнює півсумі його верхньої і нижньої межі, а середнє значення відкритого інтервалу визначають з розміру інтервалу наступної або попередньої групи). Потім визначають середню величину . Властивості: 1. Середня сталої величини дорівнює цій сталій: 2. Якщо кожну з варіант ряду розподілу збільшити (зменшити) на певну сталу величину А, то і середня зміниться на цю величину: , 3. Якщо кожну з варіант ряду розподілу помножити (розділити) на сталу величину А, то і середня зміниться на цю величину: ,   4. Якщо всі частоти помножити (розділити) на сталу величину А, то середня від цього не зміниться: 5. Сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю: 6. Сума квадратів відхилень значень варіант від середньої є меншою за суму квадратів відхилень від будь-якої іншої величини: , З урахуванням цих властивостей обчислення середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду з рівними інтервалами можна виконати методом моментів першого порядку за такою формулою: , h – довжина інтервалу, А – "умовний нуль" або центральне значення ознаки з найвищою частотою, mi – момент першого порядку, - центральне значення ознаки у відповідному інтервалі.
Середня гармоній-на	Є величиною, яка обернена до середньої арифметичної. Має складнішу конструкцію і використовується у випадках, коли є дані про загальний обсяг результативного показника (М = х*m) та індивідуальні значення ознаки х, а інформація про значення частоти m відсутня. Інакше: середня гармонійна використовується за не згрупованими та згрупованими даними, коли в логічній формулі середньої відомий чисельник, а невідомо знаменник.		- обсяг значень ознаки
Середня геометри-на	Використовується, якщо визначальна властивість сукупності (обсяг значень ознаки) формується як добуток індивідуальних значень ознаки. Найбільш широко використовується при аналізі рядів динаміки з метою визначення середніх коефіцієнтів (темпів) зміни рівнів ряду.
Середня квадратич-на	Використовується при визначенні абсолютних та відносних показників варіації. Середня квадратична використовується у випадку сумування квадратів значень варіант.
Середня хронологічна	Використовується у рядах динаміки при визначенні середнього рівня моментного ряду. Якщо в хронологічному ряді наведено моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються пів сумами значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більше ніж два і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за середньою хронологічною.

Розглянемо розрахунок середньої величини на конкретних прикладах.

Задача 1. Обсяги наданих послуг суб’єктами малого підприємництва по рокам подано в таблиці. Визначити середній щорічний обсяг наданих послуг.

1654665/5=330 933грн.

Висновки: щорічно в середньому надавалися послуги на суму 330 933 грн.

Задача 2. Обсяг наданих послуг поштовими відділеннями за день подано нижче. Визначити середньоденний обсяг наданих послуг по трьох відділеннях.

2700 / 3 = 900 грн.

Висновки: середньоденний обсяг наданих послуг становить 900 грн.

Задача 3. За результатами складання іспиту студентської групи отримані такі оцінки:

Визначити питому вагу оцінок, а також середній бал оцінок: на основі частот (m) та на основі часток (m').

= 114/30 = 3,8 ≈ 4бали = 3,8 ≈ 4бали

Висновки: середній бал оцінок дорівнює 4 балам.

Задача 4.Залишки товарно-матеріальних цінностей на складі становлять на:

01.01.07р. – 200 тис. грн.; 01.04.07р. – 260 тис. грн.; 01.07.07р. – 320 тис. грн.; 01.10.07р. – 290 тис. грн.; 01.01.08р. – 260 тис. грн. Визначити середньоквартальні залишки товарно-матеріальних цінностей на складі.

= ((200+260)/2+260+320+290)/(5-1)=275 тис. грн.

Висновки: середньоквартальні залишки товарно-матеріальних цінностей на складі становлять 275 тис. грн.

Задача 5.Відомо, що бригада токарів з п’яти чоловік виробляють за зміну один вид продукції і на її одиницю кожен з них витрачав певний час:

Визначити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.

(тому, що кожен із робітників виготовляв різну кількість деталей)

= 5/(1/12+1/15+1/14+1/16+1/14) = 13,3 хв.

Або шляхом ділення загальних витрат часу бригади на кількість виготовлених ними деталей (за умови, що тривалість зміни становить 8 годин).

=5*8*60/(8*60/12+8*60/15+8*60/14+8*60/16+8*60/14) = 13,3 хв.

Висновки: середні витрати часу на виготовлення однієї деталі становлять 13,3 хв.

Задача 6. Визначити середню врожайність картоплі за 2007р. на основі таких даних:

= 5405/75 = 72,07 ц /га

Висновки: середня врожайність картоплі у 2005р. становила 72,07 ц /га.

Задача 7.Темп зростання експорту продукції по відношенню до попереднього року (ланцюгові) становили:

2004р. – 100%; 2005р. – 125 %; 2006р. – 111 %; 2007р. – 108 %. Визначити середньорічний темп зростання експорту продукції.

= ³√1,25*1,11*1,08= ³√1,5= 1,145 або 114,5%

Висновки: щорічно обсяг експорту зростав в середньому на 14,5%.

3. Крім перерахованих видів середніх величин виділяють ще структурні (порядкові) середні, вони використовуються при визначенні характеристик рядів розподілу і форм розподілу. Види та методика розрахунку порядкових середніх подано в таблиці:

Порядкові середні	Поняття	Розрахункова формула
Дискретний ряд розподілу	Інтервальний ряд розподілу
Статистична мода Мо	Це найпоширеніше значення ознаки х, яка в ряді розподілу має найбільшу частоту (частку) або це значення варіанти, яке найчастіше зустрічається в ряді розподілу	В даному ряді розподілу мода визначається візуально за максимальною частотою або часткою. Отже, мода дорівнює ознаці х, яка має найбільшу частоту mmax.	Спочатку визначається модальний інтервал, якому відповідає максимальна частота. Потім визначається статистична мода за формулою: де хМо - нижня межа модального інтервалу; hМо - розмір (крок) модального інтервалу; mМо – частота модального інтервалу; mМо-1– частота передмодального інтервалу; mМо+1 – частота післямодального інтервалу.
Статистична медіана Ме	Це варіанта х, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його на дві рівні за обсягом частини.	Визначають використовуючи кумулятивні частоти Sm, які утворюються послідовним підсумовуванням абсолютних або відносних частот (m) і медіаною буде значення ознаки х, для якої кумулятивна частота перевищує половину обсягу сукупності. Тобто, у дискретному ряді розподілу , для якого .	В інтервальному ряді розподілу спочатку визначається медіальний інтервал, для якого , а медіана визначається за формулою:   де хМе– нижня межа медіального інтервалу; hМе – крок медіального інтервалу; ∑mі – обсяг сукупності; SmМе-1 – кумулятивна частота передмедіального інтервалу; mМе – частота медіального інтервалу.
Квартилі Qj	Це значення варіант, які ділять варіаційний ряд на чотири рівні частини; квартиль є три: Q1 – відтинає ¼ знизу, Q2 – посередині (або ½, тобто Q2 = Ме і обраховується аналогічно), Q3 – зверху ¾ ряду.	У дискретному ряді розподілу квартиль дорівнює варіанті, кумулятивна частота якої забезпечує умову: , де j –номер квартилю, дорівнює 1 або 3.	В інтервальному ряді спочатку визначаються квартильні інтервали як інтервали з , де j – номер квартилю, а в середині їх визначаються квартилі за формулою:
Децилі Dj	Це варіанти, які ділять варіаційний ряд на десять рівних частин: D1, D2, …..D9; (D5=Ме).	В дискретному варіаційному ряді: , для якого .	В інтервальних рядах спочатку визначається децильні інтервали, для якого . Потім розраховуються децилі за формулою:

Задача 8. Визначити статистичну моду та медіану на основі наступних даних про кількість робітників та їх тарифний розряд:

Мо = 3 розряд

Ме = 3 розряд

Висновки: найбільша кількість робітників мають 3 розряд; приблизно половина робітників мають до 3 розряду, решта – вище 3 розряду.

Задача 9. Відомі такі дані про заробітну плату та кількість працівників на підприємстві. Визначити середній, модальний та медіальний розмір заробітної плати одного працівника.

=20950/38= 551 грн.

Модальний інтервал: 400-500 → m_max =12;

Мо =

Медіальний інтервал: 500-600 → S_m≥¹/₂∑m;

Ме =

Висновки: середня заробітна плата одного працівника становить 551 грн.; найбільша частина працівників отримує заробітну плату в розмірі 467 грн.; одна половина робітників отримує заробітну плату до 511 грн., а решта – більше 511 грн.

Задача 10. Використовуючи дані попередньої задачі розрахувати квартиль першого порядку та дециль другого порядку.

Квартильний інтервал першого порядку: 400-500 → S_m ≥ ¹/₄∑m;

Децильний інтервал другого порядку: 400-500 → Sm ≥2/₁₀∑m;

Висновки: одна четверта працівників отримують заробітну плату менше 429 грн.; а одна п’ята – до 413 грн.

Завдання для самостійної роботи: