Число размещения без повторения

А_n^m= .

Число сочетание без повторений

С_n^m= .

Число перестановок

P_n=n!

Число размещений с повторениями

Ã_n^m=n^m.

Число сочетаний с повторениями

Ĉ_n^m=С_n+m-1^m.

Вероятность элементарного исхода

Число p(w_i) наз. вероятностью элементарного исхода w_i.

Вероятность события на дискретном пространстве ЭИ

Вероятность любого событияА Ω, будем определять по формуле , т.е. вероятность события А ровна сумме вероятностей ЭИ входящих в мн-во А.

Свойства вероятности

1) Р( )=0

2) Р(Ω)=1

3) 0 Р(А)≤1

4) Р(А В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

5) Р(А+В)=Р(А)+Р(В), А,В-несовместны

6) Р(А)=1-Р(А)

Предположения классической вероятностной модели

1) ПЭИ состоит из конечного числа n элементов исходов Ω={w₁,w₂,...,w_n}

2) все ЭИ равновозможны, поэтому вероятность любого из них равна p(w_i)=1/n, i=1,n.

Классическое определение вероятности

Если экспериментально удовлетворяет условием классической вероятностной модели, то вероятность событие А вычисляется по формуле:Р(А)=к/n.

Предложения геометрическое вероятностной модели

1) ПЭИ Ω имеют конечную меру

2) вероятность попадание случайной брошенной точки любого подмножества Ωпропорционально мере этого подмножества и не зависит от его расположение и формы.

Геометрическое определение вероятности

Вероятность попадания в областьА⊆Ω, при бросании на удачу точки в области Ω равна:Р(А)=µ(А)/µ(Ω), где µ-это мера множества.

Аксиоматическое определение вероятности

Вероятность (Ω,F)- это числовая функция определенная на множествах из σ-алгебра F и обладающая следующими свойствами:

Аксиома 1: Р(А)>=0 А F

Аксиома 2: Р(Ω)=1

Аксиома 3: если послед событий {А_n} такова, что событие попарно несовместны, т.е. A_iA_j=∅i j, то вероятность объединения Р( )= A_n).

35) Вероятностное пространство
Совокупность( ) будем называть вероятностным пространством с вероятностной мерой Р

Событие на вероятностном пространстве

Элементы сигмы – алгебры т.е А будем наз событиями.

Условная вероятность

Условной вероятностью события А при условии событие В с Р(В)>0 наз. величинаP(A/B)=P(AB)/P(B), P(B/A)=P(AB)/P(A).

Несовместимость 2 событий А и В

Событие А и В наз. независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Независимость событий в совокупности

Случайные событие А₁,...,А_nназ. независимыми в совокупности, если вероятность:Р(А₁,..,А_n)=Р(А₁)...Р(А_n).

Попарная независимость

События А₁,..,А_nназ. попарно независимы, если для i,j=1,n,i jP(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)

Формула умножения вероятностей для двух событий

P(AB)=P(A)P(B/A)илиP(AB)=P(В)P(А/В).

Теорема умножения вероятностей

Если события А₁,..,А_nтаковы, что Р(А₁,..,А_n-1)>0,то Р(А₁,..,А_n)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂)…

Р(А_n-1/А_1…А_n-2)Р(А_n/А_1…А_n-1).

43.Упрощенная формула для расчёта вероятности наступления хотя бы одного из независимых событий.

Р(Ã)=1-(1-Р(А₁))(1-Р(А₂))..(1-Р(А_n))

Теорема. Формула полной вероятности

Пусть Н₁,...,Н_n полная группа событий и событие Асодержится в их сумме А⊂ _I,тогда имеет место формула полной вероятности. P(A)= H_i)P(A/H_i)

Теорема формула Байесса.

Пусть Н₁,..,Н_nполная группа событий и А⊂ _I причём

Р(А)>0

Р(H_i/A)=(P(H_i)P(A/H_i))/P(A)= (P(H_i)P(A/H_i))/ _i)P(A/H_i))

46.Гипотезы Попарно несовместные события H₁,H₂,H₃…H_n, образующие полную группу, называют гипотезами.

47.Сумма вероятностей гипотез

Р(H_i/A)=(P(H_i)P(A/H_i))/ _i)P(A/H_i))

48.Схемой независимых испытаний Бернули называеться последовательность испытаний удовлетворяющих следующим условием

1)при каждом испытании различают лишь 2 исхода: появление некоторого событие А, что называеться «успехом» либо появление его дополнения А называеться «неудачником»

2)испытание являютьсянезависимы

3)вероятность успеха во всех испытаний постоянна и равна Р(А)=р,тогда неудачник Р(А)=1-p=q

49.Вероятность P_n(m) того, что b_n испытаниях по схеме бернулли произойдет ровно m успехов определяется формулой Бернулли

P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m, m=0,n

50. Число m₀ при котором вероятность P_n(m) достигает max значения называется найвероятностным числовым успехом.