Неравенство Чебышева для м.о

P(|ξ- M_ξ| ) D_ξ/ , где D_ξ=М(ξ- M_ξ)²

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для м.о

Пусть ξ и η таковы, что М < , М < , тогда М_|ξη|< , (М_|ξη|)² М М ,

М >0, М >0

55.ОПр.Дисперсией СВ ξ наз число D_ξ=М(ξ- M_ξ)²

56.Характеризуем дисперсию СВ момент инерции распределения единичной массы на прямую

57. Упрощенная формула для дисперсииD_ξ=М - M_ξ²

Формулы дисперсии ДСВ и НСВ

ДСВ: Д_ξ= _i²p_i- ( _ip_i)²

НСВ: Д_ξ= ²p_ξ(x)dx- ( p_ξ(x)dx)²

59. Формулы расчета дисперсии ДСВ в двумерном случае.

60. Формулы расчета дисперсии НСВ в двумерном случае.

61.Дисперсия суммы Д(ξ+η)=Д_ξ+Д_η , если СВ ξ и η – независимы

62.D(cξ)=c²D_ξ

63. D(ξ+c)=D_ξ

Среднее квадр отклонение. Смысл

показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания

Совпадают ли ед. измерения СВ и дисперсии

66. Ковариация СВ ξ₁ ,ξ₂ наз величина cov(ξ₁ ,ξ₂)=M[(ξ₁-M_ξ1)(ξ₂-M_ξ2)]

Свойства

1⁰. cov(ξ₁ ,ξ₁)=D_ξ1 2⁰. cov(cξ₁ ,ξ₂)=ccov(ξ₁ ,ξ₂)

3⁰. cov(ξ₁ ,ξ₂)= cov(ξ₂ ,ξ₁) 4⁰. cov(ξ₁ ,ξ₂)=0, если ξ₁ ,ξ₂ –независимы

5⁰. | cov(ξ₁ ,ξ₂)| _{1 2}

Упрощенная формула ковариации

69.Ковариация характеризует зависимость двух СВcov(ξ₁ ,ξ₂)=0, то СВ ξ₁ ,ξ₂ могут быть независимы и зависимы cov(ξ₁ ,ξ₂) 0, то СВ зависимы

70.Коэффициентом корреляции двух СВ ξ₁ ,ξ₂ наз величина

r(ξ₁ ,ξ₂)= cov(ξ₁ ,ξ₂)/ _{1 2} , _{1 2}

Свойства

1⁰. r(ξ₁ ,ξ₂)=1 2⁰. r(сξ₁ ,ξ₂)= r(ξ₁ ,ξ₂)

3⁰. r(ξ₁ ,ξ₂)= r(ξ₂ ,ξ₁) 4⁰. r(ξ₁ ,ξ₂)=0, если ξ₁ ,ξ₂ –независимы

5⁰. r(ξ₁ ,ξ₂)= 1 ξ₂=а+b ξ₁ 6⁰. | r(ξ₁ ,ξ₂)| 1

71.Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости

72.Какие значение принимает r | r(ξ₁ ,ξ₂)| 1

73. |r|=1, то между ξ₁ и ξ₂ строгая линейная функциональная зависимость

74. r(ξ₁ ,ξ₂)>0 , т.е зависимость между ξ₁ и ξ₂ прямая при увеличению значение ξ₁ значения ξ₂ также увеличваются

r(ξ₁ ,ξ₂)<0, т.е зависимость между ξ₁ и ξ₂ обратная

75.|r| близкое к 1 , т.е по значению r можно судить 0 степени линейной зависимости

76. |r| близкое к 0 , т.е 0 слабой линейной зависимости либо её отсутствие

77.Начальный момент СВξпорядка к наз величина _к=М_ξк, ₁=М_ξ

78.Центральный момент СВξпорядка к наз величина _к=М(ξ-М_ξ)^к

79.Модой М₀(ξ) СВξназ наиболее вероятное значение СВ ξ

80.МедианойМ_е(ξ) СВ ξназ такое ее значение,для которого

Р(ξ<М_е(ξ))=P(ξ >М_е(ξ))=1/2

81.Асимметрияназ величина А_s= ₃/ ³

82. Эксцесс – не надо сказали. Если видишь это тебе не повезло

83.Целочисленная СВназ ДСВ ξпринимающая только целое не отрицательное значение.

84.Производящей функцией целочисленнойСВназ функция

(s)=M_sξ= ⁿp_n , M_|s|ξ<

85.Сво-во производящей функции:

1⁰.при |s| 1, | (s)| 1, причём (1)=1

2⁰.Производящая функция является законом распределения

3⁰.если ξ₁,.., ξ_i независимые целочисленные СВ, то хар-кая функция их суммы равна произведению хар-ких функций. _{1.. ξn} (s)= ₁(s)… _n(s)

4⁰.M_ξ= ‘_ξ(1) D_ξ= ⁴_ξ(1)+ ’_ξ(1)- ‘_ξ(1))² ,если они существует

Мультипликативное свойство производящей функций

Если ξ₁,.., ξ_i независимые целочисленные СВ, то хар-кая функция их суммы равна произведению хар-ких функций. _{1.. ξn} (s)= ₁(s)… _n(s)

87.Можно ли производящую функцию считать законом распределения и почемуКоэф. Р_n степенного ряда (s)=M_sξ= ⁿp_n одназначноопред как р_n=(1/n!)* ⁿ_ξ(0), ’_ξ(s)= ^n-1p_n=p₁+ ^n-1p_n, ’_ξ(0)=p₁ и так далее. Т.о имея (s) можно однозначно восстановить таблицу распределения ξ

88. Характеристическая функцией СВξназ функция f_ξ(t)=M(e^itξ)= ^itxdF_ξ(x), t R, f_ξ(t) C, i=

89. Формулы расчёта ХФ для НСВ и ДСВ

f_ξ(t)= ^itxp_k,

f_ξ(t)= ^itxp_ξ(x)dx

Свойства ХФ

1⁰. f_ξ(0)=1; 2⁰. |f_ξ(t)| 1, t R 3⁰. f_aξ+b(t)=a^itb f_ξ(at)

4⁰. | f_ξ(t+ )- f_ξ(t) | ХФ равномерно непрерывна на всей числовой оси

5⁰.Если СВξ₁,.., ξ_i независимы, то _{1+.. +ξn} (t)=П_i=1ⁿf_ξ : (t)

6⁰.если для к конечный момент к-го порядка, то непре-рывная производная к порядка от Х.Ф и _к=М_ξк=(1/i^k)*f_ξk(0)

7⁰.если М_|ξ|k< , то в окрестности точки t=0 справедливо следующие разложения f_ξ(t)= ((it)^e/e!) M_ξe +0(|t₀|^k)

8⁰.f_ξ(t)=f_ξ(-t)