Неравенство для определения наиболее вероятного числа успехов в схеме Бернулли

np-q≤m0≤np+p

52. Общая теорема о повторении опытов.Вероятность того, что событие A в n независимых опытах появится ровно m раз, равна коэффициенту при в выражении производящей функции: , где – вероятность появления события A в i-м опыте, .

53.Локальна предельная теорема Муавра-Лапласа:

При большом числе испытаний справедлива формула:

P_n(m)≈1/(npq)^1/2*ψ(x), где ψ(x)=1/(2*Pi)^1/2*е^—x*x/2,

x=(m-np)/(npq)^1/2

54. Функция ψ(x) и ее свойства

Значение можно найти по таблицам приложения

2)четная т.е ψ(-x)=ψ(x)

3)при х →∞ , ψ(x) →0

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

При большом числе испытаний n вероятность того, что успешных будет заключено от а до в:

P_n(a≤m≤b)=P_n(a,b)≈Ф(х₂)-Ф(х₁), где

Ф(х)=1/(2*Рі)^{1/2 --t*t/2}dt, формула Лапласа

Х₁=a-np/(npq)^1/2 Х₂=b-np/(npq)^1/2

Функция Ф(х) и ее свойства

1)значение можно определить по таблицам приложения

2)нечетная Ф(-х)=-Ф(х)

3)монотонно возврастает при х _,Ф(х) 0,5

57.Предельная теорема Пуасонна или следствие. При большом числе испытаний n справедливо формула

P_n(m)≈λ^m/m!e^-λ, где λ=np

58.При каких условие каждая из предельных теорем дает хорошее приближение λ≤10

59.Значение больших чисел в форме бернулли,какова бы ни было постоянная ε>0

Р(|m/n-p|<ε) _{n -беск} 1

Следствие из теоремы о ЗБЧ Бернулли

Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов n частота события A сходится по вероятности к его вероятности P. Обозначим частоту события A в nопытах через и запишем теорему Я. Бернулли в виде формулы где, - сколь угодно малые положительные числа.

Как вы понимаете, что такое случайная величина (СВ), привести пример

СВ будем понимать такую величину, которая в результате опыта принимает неизвестные заранее значения, причем это значение от опыта к опыту меняется. Например: Время безотказной работы выбранного электроприбора. Определение СВ действительная функция определенная на ( назF – измеримой или СВ, если {w: (w)

Определение функции распределения вероятностей СВ

Def функция распределения . Функцией распределения F_ξ(x) СВ ξ наз. функция F_ξ(x)=р(w: ξ(w)<x)=P(ξ<x), т.еF_ξ(x) есть вероятность того, что СВ примет значение меньше некоторого х.

Свойства функции распределения вероятностей СВ

1⁰.0 F_ξ(x) 1 ,

2⁰. F_ξ(x) не убывающая функция ,т.е если х₁ х₂, то F_ξ(x₁) F_ξ(x₂)

3⁰. F_ξ(x) удовл следующим соотношенем F_ξ(x)=0 , F_ξ(x)=1

4⁰.ФР непрерывна слева , т.е F_ξ(x)= F_ξ(x₀)

5⁰.P(x₁ <x₂)= F_ξ(x₂)- F_ξ(x₁)

Понятие закона распределения СВ

Понимают всякую характеристику из которой по определенным правилом можно получить функцию распределение СВ.

Класификация СВ. Перечислить типы распределений

1)дискретная

2)абсолютно непрерывные

3)сингулярные

Определение ДСВ или СВ, имеющей дискретное распределение

СВ ξ имеет дискретные распределения и наз. дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значении с определенными вероятностями, т.е существует конечный или счетный набор чисел {x₁,…} такой , что 1)p_i=p(ξ=x_i) 0 2) _i=1

Свойство нормировки для ДСВ

_i=1

Таблица распределения ДСВ

Таблицей распределения ДСВ ξ называется таблицу вида

Где х_1<x₂<….<x_n<….

Функция распределения ДСВ

F_ξ(x)=Р(ξ<x)= _i

10.Распределения Бернулли с параметром р

11. Биномиальное распределение С параметрами n и p, 0 1 имеет СВ ξ

{0,1,2,..N} c вероятностями р_i=p(ξ=i)=C_nⁱpⁱq^n-i

12.Геометрическое распределение с парам-ом р, ξ {0,1,2,..} р_i=p(ξ=i)=pⁱq^i-1

13.Распределение Пуассонас параметром

λ,λ>0 ,ξ={0,1,.}, p_i=p(ξ=i)=λⁱ/i! *e^-λ

14.Def НСВ, имеющей абсолютно непрерывное распределение СВ ξ имеет абсолютно непрерывные распределения или назнепрерывной , если p_ξ(x) неотрицательная функция, такая что x R функция распределения представима в виде F_ξ(x)= (t)dt

15.Плотность распределения. Если p_ξ(x) неотрицательная функция, такая что x R функция распределения представима в виде F_ξ(x)= (t)dt функцию p_ξ(x) наз плотностью распределения вероятностью СВ ξ

16.Свойство нормировки для НСВ (х)dх=1