Свойство плотности распределения вероятностей СВ

1⁰.р_ξ(х) 0 x R2⁰. (х)dх=1

18.p(a ξ<b)= (х)dх (с помощью плотности распределения НСВ)

19.Как определить p_ξ(x) через F_ξ(x)p_ξ(x) = F_ξ^,(x)

20.Как определить F_ξ(x) через p_ξ(x)F_ξ(x)= (t)dt

Плотность распределения вероятностей равномерного распеределения на отрезке

p_ξ(x) = функция распределения имеет вид

F_ξ(x) =

Плотность распределения вероятностей показательного распределения

p_ξ(x) = функция распределения имеет вид

F_ξ(x) =

23.Плотность распределения вероятностей нормального распределенияСВ ξ наз нормальной если её плотность вероятности имеет вид

p_ξ(x) =1/( * )*е^{(-(x-a)*(x-a))/20*0)} значитξ N(a, ²)

График похож на шляпу или змея съела слона

25.Плотность стандартного нормального распределения СВ ξ имеет стандартное нормальное распределения, если а=0, =1 и плотность вероятности имеет вид p_ξ(x) =1/( )*е^(-х*х)/2

Св-ва СВ имеющие норм распределение с параметраии а и а

27.Хи-квадрат распределения с к степенями свободы имеет сумму квадратов к независимых случайных величин распределенных по стандартным нормальному закону Х²(к)= _i² , где ξ_i N(0,1) ξ_i, i=1,k – независимы

28.Распределение Стьюдента с к-степенями свободы имеет СВ t , t= / , где N(0,1) , 0. Х²(к)- это независимая от ξ СВ имеющее распределение Х² к-степенями свободы

29.Распределения Фишера. С к₁ и к₂ степенями свободы имеет следующие СВF=(1/k₁* Х²(к₁))/( 1/k₂* Х²(к₂)), где Х²(к₁) и Х²(к₂)- независимые СВ имеющее Х² распределения с к₁ и к₂ степенями свободы.

Определение двумерной функции распределения вероятностей

Свойства двумерной функций распределения вероятностей

1⁰.0 F_ξ1ξ2(x₁,x₂) 1 2⁰. F_ξ1ξ2(x₁,x₂) F_ξ1ξ2(y₁,y₂) , x_i y_i, i=1,2

3⁰. F_ξ1ξ2(x₁,x₂)=0 , F_ξ1ξ2(x₁,x₂)=1

4⁰. F_ξ1ξ2(x₁,x₂)= F_ξ1ξ2(x₁,x₂)

5⁰.ФР двумерной СВ непрерывна слева по каждому из всех аргументов

6⁰. F_ξ1ξ2(x₁,x₂) 0

32.Свойство нормировки для двумерной ДСВ _ij=1

33.Маргинальные распределенияP_i=p(ξ₁=x_i)= _{ij ,} P_j=p(ξ₂=x_j)= _ij

Свойства двумерной плотности распределения вероятности НСВ

1⁰.P_ξ1ξ2(x₁,x₂) 0

2⁰. _1ξ2(x₁,x₂)dx₁dx₂=1

3⁰. p_ξ1ξ2(x₁,x₂)=d²F_ξ1ξ2(x₁,x₂)/( dx₁dx₂)

F_ξ1ξ2(x₁,x₂)= _1ξ2(t₁,t₂)dt₁dt₂

4⁰.p_ξ1(x₁)= _1ξ2(x₁,x₂)dx₂

p_ξ2(x₂)= _1ξ2(x₁,x₂)dx₁

5⁰. P((ξ₁, ξ₂) D)= _1ξ2(x₁,x₂) dx₁dx₂

35.Как в двумерном случае определить плотность распределения вероятности через ФРp_ξ1ξ2(x₁,x₂)=d²F_ξ1ξ2(x₁,x₂)/( dx₁dx₂)

36.Как в двумерном случае определить ФР через плотность распределения вероятностейF_ξ1ξ2(x₁,x₂)= _1ξ2(t₁,t₂)dt₁dt₂

Как найти маргиональные плотности по двумернй плотности распредСВ

p_ξ1(x₁)= _1ξ2(x₁,x₂)dx₂ p_ξ2(x₂)= _1ξ2(x₁,x₂)dx₁

Как найти вероятность попадания двумерной СВ в область D

P((ξ₁, ξ₂) D)= _1ξ2(x₁,x₂) dx₁dx₂

39.Критерий независимости НСВ. Случайные величины ξ_1,… ,ξ₂ независимы т.и.т.т,к во всех точках непрерывности функций Р_{ξ1,… ,ξ2}(х₁,…,х_n) P_ξ1(x₁), P_ξ2(x₂),.., P_ξn(x_n), имеет право равенство Р_{ξ1,… ,ξ2}(х₁,…,х_n) = P_ξ1(x₁) …. P_ξn(x_n)

40.Критерий независимости ДСВ. Пусть СВ ξ_ii=1,n –ДСВ, тогда для независимости ξ_iнеобх и достаточно,чтобыP(ξ₁=k₁,..,ξ_n=k_n)=P(ξ₁=k₁)..p(ξ_n=k_n)

41.n=m=1, f-монотонная функция. Необходимо найти плотность распределения вероятности m-мерной СВ η= (η₁,..,η_n) p_η(y)=p_ξ(g(y))*|g^,(y))|

42.Формулы для расчёта мат.ожидания. одномерной ДСВ и НСВ

М_ξ= dF_ξ(x)= p_ξ(x)dx

43.Характеризуем мат. ожидание. СВ среднее значения СВ или среднее звешаное по вероятности

Свойства м.о.

1⁰. М_ξ=c=const

2⁰.M(c)=c, c=const

3⁰.M(cξ)=c^/М_ξ

4⁰. Если a b, то a М_ξ b

5⁰. М_ξ M(ξ)

6⁰. 0, М_ξ=0, ξ=0 свероятностью 1

7⁰. g(x) борелевскаяфункция, тоh=g(ξ) естьСВиМg(ξ)= 8⁰.P(A)=M(I(A)), где I(A)=

9⁰.М(ξ₁+ξ₂)= Мξ₁+ Мξ₂

10⁰. М(ξ₁ ξ₂)= М_ξ1 М_ξ2, если ξ и η независимы

45. M(cξ)=cM_ξ

46.M(ξ+c)=M_ξ+c

47. М(ξ₁+ξ₂)= Мξ₁+ Мξ₂

48. М(ξ₁ ξ₂)= М_ξ1 М_ξ2, если ξ и η независимы

49. М g(ξ)= (м.о. η, ξ – ДСВ или НСВ)

50-51.Формулы расчёта м.о. в двумерном случае

M_ξ1= ₁p_ξ1ξ2(x_1,x₂)dx₁dx₂

M_ξ2= ₂p_ξ1ξ2(x_1,x₂)dx₁dx₂

Неравенство Маркова для м.о

Пусть ξ-неотрицательное СВ P( ) M_ξ/ или P(ξ< ) 1- M_ξ/