Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической - формах.

Пусть мгновенная ЭДС задаётся уравнением:

. На комплексной плоскости вращающийся вектор:

.

Мгновенная фаза:

.

Мнимая составляющая комплексного числа вектора на комплексной плоскости определяет синусоидальное изменение ЭДС и обозначается символом Im.

. Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел

. Комплексное число Ė_m, соответствующее положению вектора в начальный момент времени называют комплексной амплитудой:

. Комплексное число e^j∙ω∙t является оператором поворота вектора на угол ω∙t относительно начального положения вектора.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака ? произведения комплекса амплитуды Ė_m и оператора вращения e^j∙ω∙t :

. Переход от одной формы записи, к другой, осуществляется с помощью формулы Эйлера: , где

- показательная (полярная) форма,

- тригонометрическая. Чтобы преобразовать в показательную:

, .

Применение комплексных чисел позволяет от геометрического сложения или вычитания векторов на векторной диаграмме перейти к алгебраическому действию над комплексными числами этих векторов.

Если гармонически изменяющаяся величина представлена в виде косинусоидальной функции времени:

то её мгновенное значение равно действительной части произведения комплексной амплитуды и оператора вращения.

2) Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица

На комплексной плоскости вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

3) Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней. Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в научных исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках —электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

4) Модулем комплексного числа называется – длина вектора, изображающего комплексное число. Модуль комплексного числа обозначается , а также буквой r.

r= Угол между осью абцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число , называется аргументом комплексного числа Каждое неравное нулю комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов.

Резонанс токов

Рассмотрим теперь случай, когда у параллельно соединенных конденсатора и катушки оказались равными их реактивные сопротивления, т. е. XlL = XC.

Если мы, как и прежде, будем считать, что катушка и конденсатор не обладают активным сопротивлением, то при равенстве их реактивных сопротивлений (YL = YC) общий ток в неразветвленной части цепи окажется равным нулю, тогда как в ветвях будут протекать равные токи наибольшей величины. В цепи в этом случае наступает явление резонанса токов.

При резонансе токов действующие значения токов в каждом разветвлении, определяемые отношениями IL = U / XL и IC = U / XC будут равны между собой, так XL = ХC.

При резонансе токов, как и при резонансе напряжений, происходит колебание энергии между полем катушки и полем конденсатора. Генератор, сообщив однажды энергию цепи, оказывается как бы изолированным.

Значения L, С и f, при которых наступает резонанс токов, определяются, как и при резонансе напряжений (если пренебречь активным сопротивлением контура), из равенства:

ωL = 1 / ωC Следовательно: fрез = 1 / 2π√LC , Lрез = 1 / ω²С, Срез = 1 / ω²L

Изменяя любую из этих трех величин, можно добиться равенства Xl = Xc, т. е. превратить цепь в колебательный контур.

Итак, мы получили замкнутый колебательный контур, в котором можно вызвать электрические колебания, т. е. переменный ток. И если бы не активное сопротивление, которым обладает всякий колебательный контур, в нем непрерывно мог бы существовать переменный ток. Наличие же активного сопротивления приводит к тому, что колебания в контуре постепенно затухают и, чтобы поддержать их, необходим источник энергии - генератор переменного тока.

В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармоничных составляющих. Угловая частота w₀, при которой наступает резонанс, называется резонансной, или собственной частотой колебаний резонансного контура.

Билет №23.

1.1)Алгебраическая форма Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Тригонометрическая форма

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то комплексное число можно записать в тригонометрической форме

).