ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ 6 часть

Определим односторонние пределы в точке :

Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна.

Определим односторонние пределы в точке :

Так как односторонние пределы функции у в точке не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке скачок функции

Построим график функции.

у

0 х

Рисунок 3

6.Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

х		–2	(–2; 4)		(4; 10)
	+	+	–	не сущ.	–		+
		max				min

.

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х
	–	не сущ.	+

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

у

–4 0 4 х

Рисунок 4

7. а) Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные изобразить на комплексной плоскости; , записать в показательной и тригонометрической формах; найти , записать в показательной и алгебраической формах и изобразить геометрически.

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера . Для этого вычислим главный определитель системы и определители , учитывая, что – комплексное число, где .

Находим :

(т.к. );

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:

в векторной форме записи

Для того, чтобы найти в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел :

.

Вектор, соответствующий числу , строим как сумму векторов по правилу параллелограмма.

Для того, чтобы найти в алгебраической форме, вычитаем действительные и мнимые части чисел :

.

Вектор, соответствующий числу , записываем как сумму векторов и , строим его по правилу параллелограмма.

у

–3,5 z₂

j

– z₂ –203,5 x

z₁ z

и

Рисунок 5

Найдем модуль и аргумент комплексных чисел ( или ; в 1 и 4 четвертях; во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).

Число принадлежит 3 четверти:

(аргумент );

(модуль ).

Число принадлежит 1 четверти:

;

Запишем числа в показательной и тригонометрической формах:

так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

так как при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Найдем , используя формулу

, где т = 0, 1, 2, …, п – 1.

В нашем примере п = 6, т = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и мы получим 6 различных значений корня:

при т = 0

при т = 1

при т = 2

при т = 3

при т = 4

при т = 5

у

w₃

w₄ 96⁰ w₂

156⁰ 36⁰

0 –24⁰ x

–144⁰ –84⁰ w₁

w₅

w₆

Рисунок 6

.

7. б)Найти скорость (м/с) и ускорение а (м/с²) материальной точки, траектория которой задана параметрическими уравнениями

в момент времени с.

Решение. Вектор есть радиус-вектор движущейся материальной точки. В нашем случае . Найдем уравнение траектории (годографа) движущейся материальной точки.

В первом уравнении обе части возведем в квадрат

Система уравнений примет вид

Исключая , получим уравнение

Это есть уравнение параболы с вершиной с осью, параллельной оси Оу, параметром и ветви направлены вверх. Координаты точки в момент времени с будут

т.е. .

Построим полученную траекторию.

у

14 М₀ (5; 14)

0 2 5 х

–4 А

Рисунок 7

Вектор есть вектор скорости материальной точки, который направлен по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае

или

В момент времени с скорость материальной точки равна

или

а величина скорости м/с.

Как известно, вектор ускорения движения материальной точки равен

В нашей задаче

и

. Отметим этот вектор на чертеже.

м/с².

Ответ: В момент времени с величина скорости точки м/с, а ускорение м/с².

7. в)Найти скорость (м/с) и ускорение а (м/с²) материальной точки, траектория которой задана параметрическими уравнениями

в момент времени с.

Решение. Вектор есть радиус-вектор движущейся материальной точки. В нашем случае . Найдем уравнение траектории (годографа) движущейся материальной точки.

Обе части уравнений возведем в квадрат и почленно сложим.

Получили уравнение эллипса с центром в точке и полуосями . Координаты точки в момент времени с будут

у

В₁

–2 0 х

–3

А₂ О ' А₁

–12

Рисунок 8

Вектор есть вектор скорости материальной точки, который направлен по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае

или

В момент времени с скорость материальной точки равна

,

(отметим этот вектор на чертеже), а величина скорости м/с.

Как известно, вектор ускорения движения материальной точки равен

В нашей задаче

или и

;

(отметим этот вектор на чертеже).

м/с².

Ответ: В момент времени с величина скорости точки м/с, а ускорение м/с².

8. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными параболами .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

.

Отсюда

.

у

–1 0 1 х

Рисунок 9

Площадь вычислим по формуле

,

где , – кривые, ограничивающие фигуру ( ).

В нашем случае

8. б) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осью Ох.

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение

,

,

.

Первому квадранту соответствует корень .

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение , откуда .

Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси Ох, а при – вращением прямой .

у

0 2 х

Рисунок 10

Объем ищем по формуле .

.

Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда и .

Отсюда

.

9. а)Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле

.

Находим и для рассматриваемой кривой:

Вычислим длину дуги при :

ед.

Ответ: ед.

9. б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , заданными в полярной системе координат.

Решение. Площадь фигуры, ограниченной одной или двумя кривыми, заданными в полярной системе координат, вычисляется по формулам

или

.

Сделаем чертеж искомой площади, учитывая, что , поэтому , то есть .

p/2

6 p/3