Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины X

Из вида кривой эмпирического распределения следует, что случайная величина должна иметь закон распределения, близкий к нормальному. Для сравнения в той же системе координат построим кривую нормального закона распределения

,

где , а величины и были получены в предыдущем пункте. Таким образом, .

Одним из критериев, позволяющих установить справедливость нормального закона распределения случайной величины X, является правило трех сигм. В случае нормально распределенной величины вероятность отклонений от больше, чем на величину , мала, следовательно, такие отклонения встречаются крайне редко. Для наших статистических данных . Из графика и таблицы можно сделать вывод, что величина X редко отклоняется от более, чем на , следовательно, ее закон распределения близок к нормальному.

Рисунок 21

26.Заданные осциллограммы представить приближенно в виде суперпозиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гармоник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ординаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.

Рисунок 22

Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле

. (4 )

Таблица 5

Поскольку измеряется в радианах, причем , формула для разложения функции в ряд Фурье имеет вид

(5)

Коэффициенты разложения определяются по формулам

, (6)

, (7)

. (8)

В нашей задаче аналитический вид функции неизвестен, но мы нашли значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегралы приближенно, например, по формуле трапеций:

, (9)

, (10)

, (11)

где

Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, для получим

и т.д.

Таблица 6

n
	–1,99
	1,85	–1,12	2,2	2,12
	–0,05	–0,06	0,081	–2,46
	–0,09	–0,03	0,096	–1,88
	–0,1		0,1	–1,52

Во многих технических приложениях вместо суммы функций записывают одну функцию , которая представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево относительно на . Функцию принято называть гармоникой. Ее параметры выражаются через и по формулам

, (12)

(13)

Если значение , вычисленное по формуле (13), превышает , то из него можно вычесть , так как синус – периодическая функция. С учетом формул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид

(11)

По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разложение в ряд Фурье для нашей осциллограммы

(15)

Для построения графика функции вычислим значения функции по формуле (15) для всех значений из таблицы 5.

Таблица 7

n
x		0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
	0,64	0,0001	–0,95	–2,2	–2,9	–3,1	–2,9	–2	–1	0,069	1,2	1,3	0,64

Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координатами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем построим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле

Полученный график показан на рисунке 23.

Рисунок 23

На этом графике – исходная осциллограмма, – ее разложение в ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значениях x за исключением крайних точек и . Дело в том, что – функция непрерывная и периодическая, для нее . В то же время, для нашей осциллограммы . Если ее график периодически продолжить на всю ось 0x, то точки и станут точками разрыва. В точках разрыва равно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции .