ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ 8 часть

17. б)С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

Решение.

у

–9 3 х

Рисунок 17

Поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то . Вычислим .

Таким образом, .

18.Вычислить работу, совершаемую переменной силой по контуру, связывающему точки М(1; 1) и N(2; 3), и установить независимость от пути интегрирования.

Решение. Для того, чтобы найти работу, совершаемую переменной силой , вычислим криволинейный интеграл

по контуру, соединяющему точки М(1; 1) и N(2; 3).

Выберем в качестве контура интегрирования наиболее простой контур, связывающий точки М и N, например, ломаную, звенья которой параллельны осям координат.

у

3 N

х = 2

у = 1

1 М

0 1 2 х

Рисунок 18

Имеем на первом участке , на втором участке . Таким образом,

В данном случае выполнено условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

,

где , . Действительно, .

19.Найти циркуляцию векторного поля вдоль линии пересечения плоскости с координатными плоскостями непосредственно и по формуле Стокса (точка пробегает полученную линию против часовой стрелки, если смотреть от начала координат).

Решение. 1) Вычислим циркуляцию по контуру непосредственно по формуле

z

С 3 3 А

В

0 6 у

х

Рисунок 19

В нашем случае и уравнение АВ: , , откуда и , причем . Поэтому

ВС: , , и , и .

СА: .

.

Окончательно Ц .

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса.

, где

.

Предварительно найдем ротор вектора :

За поверхность, натянутую на контур, берем поверхность . Тогда

( – площадь , – площадь ).

20.Дано векторное поле и точки , и .

1) Показать, что поле – потенциальное.

2) Найти потенциал , если известно, что .

3) Найти работу поля между точками и , и , и и найти циркуляцию по контуру .

Решение. 1) Одним из признаков потенциального поля является равенство нулю ротора вектора поля.

.

В нашем примере и

таким образом, и заданное векторное поле является потенциальным.

2) Для потенциального поля вектор поля , где – потенциал поля, то есть

.

Потенциал поля находим по формуле

.

.

Проверка: .

Из условия находим С:

и потенциал поля равен

.

3) Работа потенциального поля между точками и равна разности значений потенциала в конечной и начальной точках.

Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру

.

Проверили еще один признак потенциального поля: циркуляция потенциального поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Ответ: 1. ,

2. ,

3. .

21.Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый -ый элемент работает независимо от других с вероятностью ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

.

Рисунок 20

Решение. Участок цепи будет работать безотказно, если работают блоки 1–2 и 3–4–5–6 (последовательное соединение).

Рассмотрим блок 1–2. Элементы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, блок 1–2 будет работать, если хотя бы один из элементов 1, 2 исправен.

– надежность блока 1–2.

Рассмотрим блок 3–4–5–6. Блок 3–4–5–6 будет безотказно работать хотя бы в одном из случаев:

исправны элементы 3 и 4,

исправен элемент 5,

исправен элемент 6.

– вероятность безотказной работы блока

3–4.

– надежность блока 3–4–5–6.

Следовательно,

– искомая надежность участка

цепи.

22.Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станке независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: 1) все четыре станка; 2) ни один станок; 3) по крайней мере один станок.

Решение. Обозначим через события, состоящие в том, что в течение часа потребуют внимания рабочего соответственно первый, второй, третий, четвертый станки. По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение часа все станки потребуют внимания рабочего, то есть произойдут события и , и , и , и , вычислим по формуле

.

Вероятность того, что в течение часа станок (любой) не потребует внимания рабочего, найдем по правилу вычисления вероятности противоположного события:

.

Следовательно, вероятность события В, состоящего в том, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего, то есть произойдут события и , и , и , и , равна

.

Событие, состоящее в том, что в течение часа по крайней мере один из четырех станков потребует внимания рабочего, и событие В являются противоположными. Поскольку , то

.

23.Заданы законы распределениядвух независимых случайных величин Х и У

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины

.

Решение. Найдем математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и У:

Напишем законы распределения для случайных величин и :

Найдем математические ожидания для случайных величин и :

Отсюда

Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и У, получаем

24.Станок-автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х его диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных шариков изготовляет станок-автомат.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания

,

где – функция Лапласа (см. таблицу значений функции Лапласа).

По условию , поэтому

.

Таким образом, станок-автомат изготовляет 92,8% годных шариков.

25.Измерены диаметры для 60 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в табл. 3.

Таблица 3

Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану:

1) Построить статистическое распределение выборки.

2) Выполнить точечные оценки среднего значения и дисперсии случайной величины .

3) Построить гистограмму относительных частот, установив статистический (эмпирический закон распределения).

4) На том же чертеже построить кривую нормального распределения с параметрами и и проанализировать, хорошо ли статистические данные описываются нормальным законом распределения.