ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ 7 часть. Так как фигура симметрична относительно прямой , то

4 p/6

0 r

1

Рисунок 11

, .

Так как фигура симметрична относительно прямой , то

=

10. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка , удовлетворяющее указанным начальным условиям

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию у. Положим , где р – некоторая функция аргумента х. Если , то , и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных р и х. Решим это уравнение:

, или .

Определим численное значение С₁ при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С₂ при указанных начальных условиях. Имеем .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

11.Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее указанным начальным условиям .

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения у_одн однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

.

Для нахождения у_одн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

,

где – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив , имеем:

.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде , так как правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа являются корнями характеристического уравнения. При имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение и , получим:

,

откуда . Следовательно, и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

12.Классическим методом и методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение. Решением этой системы является пара функций , , удовлетворяющих системе, причем .

1) Классический метод решения.

Продифференцируем первое уравнение по переменной :

.

Из первого уравнения определяем , следовательно, из второго уравнения имеем

.

Подставляем в уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению

,

– линейное дифференциальное уравнение II порядка с

постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

– действительные различные корни.

В этом случае общее решение дифференциального уравнения имеет вид

,

.

Ранее определили . Тогда

.

Общее решение системы

Находим значения произвольных постоянных, используя начальные условия :

Частное решение системы

2) Метод операционного исчисления.

Пусть . По теореме о дифференцировании оригинала получим

Следовательно, операторная (изображающая) система имеет вид:

Из первого уравнения определяем и подставляем во второе уравнение:

, .

Представим дробь в виде суммы простых дробей:

Следовательно, .

По таблице изображений находим

.

Аналогично:

,

,

.

Частное решение системы

13.Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Введем новое переменное и получим ряд ,где и . Найдем радиус сходимости степенного ряда

Таким образом, интервал сходимости ряда (–3; 3), то есть.

Выясним вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала.

При ряд принимает вид

.

Получили числовой знакочередующийся ряд, применим к нему признак Лейбница:

1) ,

2) , в самом деле,

Значит, ряд сходится и – точка сходимости ряда.

При получаем ряд . Сравним его с гармоническим рядом , который расходится. Применим предельный признак сравнения.

.

Значит, оба ряда ведут себя одинаково, то есть ряд расходится и – точка расходимости.

Таким образом, область сходимости для ряда

.

Перейдем к переменному х:

или .

Ответ: Область сходимости .

14. а) Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Решение. Так как по условию , то искомое частное решение можно записать в виде:

Из начальных условий уже известны и . Подставив эти значения в заданное уравнение, вычислим :

.

Последовательно дифференцируя данное уравнение, будем иметь:

Теперь вычислим значения производных при :

.

Следовательно, или

есть искомое частное решение.

14. б)Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение. .

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого используем ряд

,

где . Положим и заменим х на :

Так как отрезок интегрирования принадлежит области сходимости полученного ряда , то будем интегрировать почленно в указанных пределах:

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

.

15. Дана функция двух переменных . Найти:

1) экстремум функции ;

2) в точке А(1; –2);

3) наибольшую скорость возрастания точке А(1; –2).

Решение. 1) Для отыскания экстремума функции предварительно найдем частные производные первого и второго порядка:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Решением системы является точка М(–4; 1). Точка М(–4; 1) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М:

Из них составим определитель второго порядка

Так как , то в точке М(–4; 1) есть экстремум. Производная , а, значит, это точка минимума функции.

.

2) Градиент функции найдем по формуле:

,

и были найдены в пункте 1.

.

Градиент функции в точке А(1; –2):

.

3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента:

.

16. а)Найти объем тела, ограниченного параболоидом , цилиндром и плоскостью , через тройной интеграл, применяя цилиндрическую систему координат.

Решение. Сделаем чертеж, учитывая, что вершина параболоида находится в точке В(0; 0; 4), радиус окружности в плоскости хОу равен , осью цилиндра является ось Оz, радиус поперечного сечения равен 2, а уравнение описывает координатную плоскость хОу.

z

4 В

2 2 у

х

Рисунок 12

Объем полученного тела найдем через тройной интеграл по формуле

.

С учетом характера области интегрирования вычисления удобно вести в цилиндрических координатах .

Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеет вид:

где угол равен углу между осью Ох (х>0) и , и и .

z М(j; r; z)   r z 0 у     j М¢ х Рисунок 13

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим координатам .

Для вычисления объема тела в цилиндрической системе координат справедлива следующая формула:

или

.

В нашем случае (см. рис. 12) а находим из уравнения параболоида, учитывая цилиндрические координаты:

и, таким образом, .

С учетом вышесказанного имеем:

Ответ: ед³.

16. б)Найти объем тела, ограниченного сферой и конусом , через тройной интеграл, применяя сферическую систему координат.

Решение. Сделаем чертеж, учитывая, что центр сферы находится в начале координат (0; 0; 0), радиус равен 3; осью вращения конуса является ось Оz, а угол между осью Оz и образующей конуса равен (так как каноническое уравнение конуса вращения , где – угол между образующей конуса и осью вращения Оz).

z

3

–3 3 у

х

Рисунок 14

С учетом характера области интегрирования вычисления удобно вести в цилиндрических координатах .

Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеет вид:

где угол равен углу между осью Ох (х>0) и , угол равен углу между осью Оz (z>0) и , и .

z q М(j; q; r)   r 0 у     j М¢ х Рисунок 15

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим координатам .

Для вычисления объема тела в сферической системе координат справедлива следующая формула:

.

В нашем случае (см. рис. 14) и

Ответ: ед³.

17. а)С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры (меньшей по площади), ограниченной эллипсом и прямой (поверхностную плотность считать равной единице).

Решение. В случае однородной пластины, занимающей область плоскости хОу, координаты центра тяжести находят по формулам:

где – площадь области ,

.

В рассматриваемом случае фигура ограничена кривыми и при .

у

–5 0 5 х

–3

Рисунок 16

Поэтому

Полученный интеграл вычислим заменой переменной.

Итак, . Далее

Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены переменной:

Отсюда

.

Наконец,