Элементы динамики сооружений

Динамика сооружений - это специальный раздел строительной механики, посвященный методам расчета сооружений на динамические нагрузки.

Динамическими нагрузками называются такие, которые во время действия сообщают массам сооружения ускорения, вызывая появления инерционных сил.

Расчет сооружения с учетом сил инерции и возникающих при этом колебаний называют динамическим расчетом. Задачей динамического расчета в общем случае является определение во времени закона движения масс деформируемой системы у(х,t). Зная закон движения масс деформируемой системы во времени можно дать оценку прочности и жесткости системы.

Для упрощения иногда расчет сооружений выполняется как статистический, а динамический характер воздействия учитывается путем увеличения нагрузки с помощью, так называемых, динамических коэффициентов. Однако для установления значений динамических коэффициентов необходимо уметь проводить именно динамический расчет. Кроме того, далеко не всегда с помощью коэффициентов можно учесть все своеобразие процесса динамического деформирования.

Виды динамических воздействий

В процессе эксплуатации сооружения подвергаются различного рода динамическим действиям. К ним относятся:

Неподвижные периодические нагрузки (расположенные на сооружения в определенном месте). Наиболее часто встречающаяся их разновидность - вибрационные,изменяющиеся во времени по гармоническому закону. Такие нагрузки возникают, например, при вращении неуравновешенных частей машин.

Импульсные нагрузки характеризуются их внезапным и кратковременным действием, часто большей интенсивности. Такие нагрузки создаются, например, различными взрывами. Импульсные нагрузки могут быть однократными или повторного действия.

Ударные нагрузки в виде ударов в определенном месте сооружения, характерное резким изменением скорости ударного тела в короткий промежуток времени. Такая нагрузка может быть и периодической. Ударную нагрузку создают падающие тела, всевозможные копры, молоты и ударные механизмы других видов.

Подвижная нагрузкапостоянного или переменного значения, меняющая на сооружении сове положение, которая возникают в связи с движением транспорта грузовых кранов и т.д.

Сейсмические нагрузки, вызывающие принудительные движения, изменяющиеся во времени по сложному закону.

Динамические нагрузки (воздействия) по степени достоверности их определения подразделяют на детерминированные (хорошо определенные) и случайные.

Сейсмические воздействия относится к категории случайных воздействий. Сейсмические нагрузки возникают в сооружениях в связи с колебаниями их оснований при движении поверхности Земли во время землетрясения.

Степени свободы систем

Системы в динамике сооружений разделяются по числу степеней свободы.

Степенью свободы системы называется число независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс конструкции в любой момент времени.

Положение любой массы на плоскости характеризуется тремя геометрическими параметрами или степенями свободы.

У

j

у

0 х Х

Если эту массу условно представить в виде точки, то ее положение на плсокости характеризуется двумя параметрами, а в пространстве - тремя.

У

m

y

Х

x

Всякая распределенная масса на упругой деформируемой системе, представляемая как бесконечно большое количество бесконечно малых масс, будет иметь бесконечное число степеней свободы.

Для определения степени свободы системы необходимо каждую массу системы закрепить связями от всех возможных перемещений. Количество вводимых стержней и определяет степень свободы системы.

m₁

Масса рамы мала по сравнению

с сосредоточенными массами,

поэтому ней пренебрегают.

m₂

Ст. свободы = 6

Если пренебречь поворотами масс и считать их точечными.

В практических расчетах часто пренебрегают m₁ перемещениями масс за счет растяжения или

сжатия стержней, тогда

m₂ m₁

m₂

ст. свободы =4

m₁

ст. свободы =3

ст. свободы =1

Виды колебаний

Если внешним воздействием нарушить состояние устойчивого равновесия механической системы, а затем устранить это внешнее воздействие, то система начнет совершать колебания относительно своего первоначального положения равновесия. Колебания системы, которые происходят в ней после устранения внешнего воздействия, называются свободными.Свободные колебания зависят от характеристик системы и от тех начальных условий (смещений, скоростей, ускорений), которые соответствовали моменту снятия с системы внешнего воздействия. Поскольку начальные условия могут быть различными, то и свободные колебания одной и той же системы могут быть разными с изменяющейся во времени (у систем с числом степеней свободы больше одной) конфигурацией эпюры динамических прогибов.

Если надлежащим образом задаться начальными условиями колебаний, то можно получить свободное колебание системы с неизменяющейся во времени формой, определяемой соотношениями ее динамических прогибов в разных точках. Такие колебания системы называются собственными(или главными). Название «собственные» связано с тем, что формы этих колебаний и соответствующие им частоты определяются только собственными характеристиками механической системы (величиной и распределением масс, жесткостей, видом опор).

Каждая система с n степенями свободы имеет n собственных частот и соответствующих им форм колебаний.

Свободные периодические колебания, совершаемые по гармоническому закону с одной частотой, когда отношение перемещений двух любых точек в любой момент времени не меняется, называется собственными,а формы колебаний, соответствующие, - собственными, или главными, формами.

В реальных условиях сборные колебания системы более или менее затухают, что связано с затратами энергии на преодоление различных внешних (трения в опорах, сопротивление среды и т.д.) и внутренних сопротивлении.

Для каждого из собственных форм колебаний характерно своя скорость затухания. По этой причине к концу процесса свободных колебаний сложные движения, состоящие из нескольких собственных форм, постепенно вырождаются в одну форму, отличающуюся наименьшей скоростью затухания. Свободные колебания системы с одной степенью свободы происходят с одной, присущей такой системе, собственной частотой.

Если колеблющаяся система находится под действием возмущающихся сил (или кинематических воздействий), то такие колебания системы называются вынужденными.

Вынужденные колебания зависят как от параметров колеблющейся системы, так и от характеристик вынуждающего (возмущающего)воздействия.

Идеализированные системы, у которых запас механической энергии при колебаниях не изменяется, называются консервативными.

Реальные системы, обладающие свойством рассеивать энергию, называются диссипативными.

Колебания, описываемые уравнением у (t), которые удовлетворяют условию

у(t+kT)=y(t) - называются периодическими.

Где, Т- период колебаний.

к–целое число.

Обратная периоду величина, т.е. количество циклов колебаний за единицу времени n=1/T, называется частотой колебаний.

Периодические колебания, которые совершаются по закону

называются гармоническими.

φ- угловая частотагармонического колебания.

φ=2π/Т=2πn.

φ – показывает количество циклов за 2π=6,283сек.

А- амплитуда колебаний.

2А- размах колебаний.

В начальный момент времени величина перемещения может быть найдена при t=0

Величина φt+ν называется фазой, а ν- начальной фазой колебаний.

Скорость колебаний

Ускорение колебаний

При гармонических колебаниях скорость и ускорение также, как и перемещения, изменяются по гармоническому закону, но со сдвигом фаз по отношению к у(t) соответственно на π/2 и π.

Соотношения между амплитудами перемещений А, скоростей Аν и ускорений Аω.

Аω=φАν=φ² А

Аν=φА

Непериодическиминазываются колебания, если функция, описывающая колебания, не удовлетворяет условию

У(t+kT)=y(t), т.е. y(t+kT)≠y(t)

Затухающиеколебания описываются уравнением.

Где, φ₁-угловая частота затухающих колебаний

А_з- начальная ордината огибающей кривой

F(t)- убывающая функция времени, F(0)=1.

Сила инерции

Методы динамики сооружений

В динамике сооружений используют два основных метода исследований:

1. Кинематический метод, суть которого заключается в том, что конструкция в каждый момент времени рассматривается в равновесии под действием заданных динамических нагрузок и сил инерции всех ее масс.

2. Энергетический метод основан на исследовании полной потенциальной энергии системы с учетом инерционных сил.

Лекция 9

Тема лекции 9. Свободные колебания системы

План лекции

· Упругие системы с одной степенью свободы.

· Свободные колебания консервативной системы.

· Свободные колебания диссипативной системы. Влияние сил сопротивления на свободные колебания. Учет сил сопротивления по теории неупругого поглощения энергии.

Тезисы лекции

Свободные колебания системы. Колебание упругой системы с одной степенью свободы.

Консервативные системы. Свободные колебания консервативной системы. Уравнение движения свободного колебания консервативной системы с одной степенью свободы. Динамические характеристики консервативной системы (период собственного колебания - Т, сек; частота собственного колебания - f, гц; угловая частота собственного колебания - φ, рад/сек)

Диссипативные системы. Влияние сил сопротивления на свободные колебания. Учет сил сопротивления по теории неупругого поглощения энергии. Свободные колебания диссипативной системы. Уравнение движения свободного колебания диссипативной системы с одной степенью свободы. Характеристики затухающего колебания. Огибающие максимумы кривых затухающих колебаний, период затухающего колебания (интервал времени между соседними пиковыми значениями перемещений одного знака) – Т₁, сек; угловая частота затухающего колебания – φ₁, рад/сек; коэффициент сопротивления – χ,коэффициент демпфирования (или затухания) – ε; мера затухания колебаний – η, логарифмический декремент колебаний – δ_з;коэффициент поглощения энергии –ψ;коэффициент неупругого сопротивления (или коэффициент потерь) – γ_з.

Основное содержание лекции

Упругие системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему с одной степенью свободы в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m.

a

m

y_ст.

Рис. 1

У_ст - прогиб балки в месте приложения массы при ее статическом действии

Пусть на балку действует динамическая нагрузка Р (t).

y_ст m P(t) Рис. 2 У - прогиб из начального

деформированного состояния за счет действия y динамической нагрузки

Для вывода дифференциального уравнения движения массы используем кинетостатический метод. Рассмотрим случай движения массы вниз от устойчивого состояния (рис. 2).

Покажем отдельно балку и массу с действующими на нее силами.

a P m

R P(t)

Рис. 3

R - реакция балки, пытающаяся вернуть балку в исходное состояние

Р - сила сопротивления движению массы

- сила инерции массы, которая направлена противоположно ускорению массы.

На основании принципа Даламбера, условие динамического равновесия массы запишется:

(1)

Запишем перемещение массы m через прогиб балки:

(2)

где d₁₁ - перемещение балки в месте положения массы m от силы Р=1, приложенной по направлению движения массы;

D_1P(t) - аналогичное перемещение от заданной динамической нагрузки.

P=1 P(t)

d₁₁ D_1P(t)

a

Из выражения (2) определим реакцию балки R

(3)

Подставляем выражение (3) в (1)

разделим это уравнение на m

(4)

обозначим

(5)

Тогда общее дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы запишется:

(6)