Свободные колебания диссипативной системы

При свободных колебаниях реальных тел происходит более или менее быстрое затухание процесса движения. Существует несколько гипотез для учета сил, вызывающих затухание колебаний систем. Остановимся на гипотезе вязкого трения, получивший в работах по сейсмостойкости наибольшее распространение.

По гипотезе вязкого трения диссипативные силы при колебаниях принимают пропорциональными скорости.

На систему при колебании действуют сила сопротивления упругого элемента R, сила сопротивления вязкого элемента R_т, вызывающее затухание колебаний (диссипативны сила) и сила инерции Rή.

Уравнение движения системы.

R + R_тmy = 0,

где, R = -ку – восстанавливающая сила, т.е сопротивление упругого элемента;

R_т = -ǽу – диссипативная сила, т.е сопротивление вязкого элемента;

ǽ - коэффициент сопротивления – величина, характеризующая силу вязкого сопротивления при скорости у=1.

my + ǽу + ky = 0,

обозначив 2έ = ǽ/m, φ²=k/m

запишем

y+2έy+ φ²y=0

где, έ = ǽ/2m – коэффициент демпфирования (или затухания) системы

В гипотезе Фойгта (гипотезе вязкого сопротивления) величина έ постоянная для данного материала.

Решение уравнения движения системы при έ< φ (что в здании практически всегда имеет место), имеет вид:

У = е^{- έt} (y_н cosφ₁t + υ_Н+ έ y_н / φ₁ · sinφ₁t ) = А_з е^{- έt} · sin (φ₁ t +υ₁ ),

где, φ₁ = (φ² - έ²) = φ [1 – (έ / φ)²];

А_з = [y_н² + (έ y_н + υ_Н / φ₁)²],

υ₁ = arctg · φ₁ y_н / έ y_н + υ_Н.

При затухающем колебании определяется не период колебаний, а интервал времени между соседними пиковыми значениями перемещений одного знака.

Т₁ = 2 π / φ₁ = 2 π / φ 1 – (έ / φ)² = Т/ 1-(έ / φ)²,

где, Т- период гармонических колебаний.

Т₁ > T, однако для обычных строительных конструкций , что приводит к близким величинам Т₁ и T.

Поэтому в практических расчетах обычно принимают:

Например при Т=1сек, έ = 0,5, φ = 2π / Т = 2 π

Такое допущение заметно упрощает расчеты при определении периодов и форм собственных колебаний систем, однако недопустимо при определении величин смещений, скоростей и ускорений, которые в связи с затуханием уменьшаются быстро и тем быстрее, чем больше έ.

При έ = 0 имеют место гармонические колебания.

Огибающие максимумы кривых затухающих колебаний (на рис. пунктирные линии описываются формулой)

Мерой затухания колебаний может служить, например, отношение амплитуд колебаний через один период:

Отношение двух последовательных амплитуд одного знака при условии затухания по закону Фойгта в течении всего процесса колебаний остается неизменным и равным:

Таким образом, Убывание следует закону геометрической прогрессии.

В качестве меры затухания колебаний часть принимает логарифм отношения у_п : у_п +1, называемый логарифмическим декрементом колебаний:

В связи с наличием неупругих сопротивлений при колебаниях реальных конструкций отмечаются некоторые отключения от линейного закона демпфирования и зависимость силы R_н – смещение при циклическом загружении характеризуется кривыми – петлями гистерезиса (рис.)

Согласно выражению R_н = R+R_т = -(ку+æу), сила сопротивления R_н слагается из восстанавливающей силы R и диссипативный R_т, последнее и вызывает нарушение закона.

Для характеристики потерь энергии при колебаниях часто используют величину коэффициента поглощения энергии, представляющего собой при циклических загружениях в пределах упругого деформирования отношение

где, ∆V – эллиптической петли гистерезиса, характеризующая потерю энергии за один цикл колебаний;

V – потенциальная энергия, равная площади треугольника (заштрихованной) ОАС.

При свободных затухающих колебаниях каждой последующий цикл происходит с меньшим отклонением системы, и гистерезисная кривая имеет вид, показанный на рис. и амплитуды будут изменяться по огибающей кривой (рис.)

Таким образом, при затухающих колебаниях площадь петли гистерезиса с каждым циклом будет уменьшаться.

Коэффициент поглощения W равен удвоенной величине логарифмического декремента.

Часто для оценки затухания используется величина γ_з, называемая коэффициентом потерь или неупругого сопротивления.

Величина коэффициента поглощения W, а следовательно, и логарифмического декремента колебаний δ_з зависит от вида материала и др. особенностей конструкций и находится в пределах приведенных ниже величин:

Лекция 10

Тема лекции 10.Вынужденные колебания системы

План лекции

· Вынужденные колебания системы.

· Вынужденные колебания системы без учета диссипативных сил.

· Вынужденные колебания диссипативной системы.

Тезисы лекции

Вынужденные колебания системы. Вынужденные колебания системы без учета диссипативных сил. Уравнение движения системы при вынужденном колебаний. Характеристики возмущающей силы. Угловая частота возмущающей силы – θ, рад/сек; начальная фаза возмущающей силы – ν_в. Явление резонанса при вынужденном колебаний системы; коэффициент динамичности – μ_д; амплитуда вынужденного колебания – y_д;

Вынужденные колебания диссипативной системы.Уравнение движения вынужденного колебания диссипативной системы.Неустановившиеся и установившиеся режимы колебаний. Амплитуда установившего колебаний - y_д.з; Коэффициент динамичности - μ_д.з;

Основное содержание лекции