Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы при действии вибрационной нагрузки

Вибрационную нагрузку создают машины с неуравновешенной вращающейся частью, масса которой имеет относительно оси вращения эксцентриситет r.

r

m₀

P

Psin Qt

Во время движения неуравновешенной массы возникает центробежная сила, определяемая по формуле

(12)

где m₀ - масса неуравновешенной части, q = угловая скорость вращения массы m_0.

Если двигатель делает n оборотов в минуту, то угловая скорость будет определять и круговую частоту действующей нагрузки

(13)

где .

Если начало действия нагрузки считать от горизонтальной оси, то составляющие центробежной силы будут:

- вертикальная Р_у = Р sin q t

- горизонтальная P_x = P cos q t

PsinQt

PcosQt

m

Рассмотрим действие силы Р sin q t. Дифференциальное уравнение (6) в этом случае запишется:

,

где

тогда:

(14)

где m - масса двигателя, включая и m₀.

Полное решение дифференциального уравнения (14):

y = A sin wt + B cos wt + Ф (15)

где

Ф = С + Д sin q t (16)

подставляя Ф и Ф’’ в уравнение (14) вместо у и

(17)

при t = 0 т.к. то С = 0

Подставляя С = 0 и разделив уравнение (17) на sin qt, получим:

,

или

.

из выражения:

,

или

тогда:

(18)

Общее решение дифференциального уравнения (14) запишется:

(19)

Полное решение состоит из 2^х частей. I часть представляет собой решение однородного дифференциального уравнения и характеризует свободные колебания системы. При наличии самых незначительных сил сопротивления свободные колебания системы быстро затухают и остается II^я часть уравнения, которая представляет собой установившиеся вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки.

(20)

Если обозначить У_ст(Р) = Рd₁₁ - прогиб от максимальной динамической нагрузки, при статическом ее действии, то

(21)

Максимальный динамический прогиб получим в том случае, если :

обозначим:

(22)

где К_дин - динамический коэффициент при действии вибрационной нагрузки

Зная К_дин мы можем рассчитывать систему на динамическую нагрузку как на статическую, если ее предварительно умножить на К_дин, т.е.

К_динP sin q t

Построим график изменения динамического коэффициента (по абсолютной величине) в зависимости отношения , где w - частота собственных колебаний; q - вынужденные колебания.

[k_дин]

q=0; k_д=1

4 q®w;k_д ®¥

область резонанса

1

0.5 1 1.5 2 2.5 q/w

Рис. 1

y

t

Рис. 2. График нарастания колебаний при резонансе

Из рис.1 и рис.2 видно, что если частота вынуждающей силы приближается к частоте свободных колебаний, то наступает явление резонанса. Резонансной считается область .

При резонансе колебания неограниченно возрастают, что на практике приводит к разрушению сооружения.

Учитывая сказанное, в динамических расчетах всегда необходимо определять частоту свободных колебаний w и сравнивать ее с частотой вынуждающей силы. Необходимо чтобы частота вынужденных колебаний q была меньше частоты свободных колебаний w, в противном случае при остановке и пуске двигателя возможно явление резонанса.

На практике требуется, чтобы .

Для соблюдения этого условия обычно изменяют частоту свободных колебаний т.к. частоту вынужденных колебаний q в большинстве случаев изменить нельзя.

Частота w увеличивается при увеличении жесткости сооружения, уменьшении длин пролетов и т.п.

Лекция 11

Тема лекции 11. Статическая и динамическая теории сейсмостойкости

План лекции

· История развития методов оценки сейсмических нагрузок.

· Статическая теория сейсмостойкости.

· Динамическая теория сейсмостойкости.

Тезисы лекции

История развития методов оценки сейсмических нагрузок. Статическая теория определения сейсмической силы. Коэффициент сейсмичности. Динамическая теория определения сейсмической силы. Коэффициент динамичности.

Основное содержание лекции

История развития методов оценки сейсмических нагрузок. Статическая теория сейсмостойкости. Динамическая теория сейсмостойкости

Японскими учеными в начале нашего века была разработана так называемая статистическая теория определение сейсмических сил, возникающих в сооружениях при землетрясении. В 1900 г. японский ученый Ф. Омори, исходя из предложения об абсолютной недеформируемости и жесткой заделке в основании сооружения (рис.1) предложил оценивать сейсмические силы, как силы инерции по формуле

(V.1)

Где m – масса сооружения; - максимальное ускорение основания сооружения - грунта, в котором оно заделано.

При этом горизонтальные поступательные перемещения, скорости и ускорения всех точек сооружения рассматривались одинаковыми и равными соответственным характеристикам колебания основания.

В формуле (V.1) опущен знак минус, показывающий, что инерционная сила направлена противоположно ускорению. При землетрясении ускорения могут быть направлены в разных направлениях, и поэтому расчетную проверку нужно делать на максимальные по абсолютной величине силы, предполагая их действующими в любом горизонтальном направлении.

Вес тела Q и его масса m связаны соотношением

(V.2)

где g=9,81 м/с² – ускорение свободного падения.

Из выражений (V.1) и (V.2) следует:

(V.3)

где -коэффициент сейсмичности.

Зная максимальное ускорение основания и вес сооружения, и пользуясь формулой (V.3), легко подсчитать возникающие в нем при землетрясении максимальные инерционные силы, которые условились называть сейсмическими нагрузками.

При установленнии величины К_c Ф.Омори исходил из ускорений , соответствовавших моменту разрушения кирпичных конструкций, массовые повреждения и обвалы которых были типичны для различных землетрясении.

Чтобы определить , Ф.Омори провел динамические испытания кирпичных столбов, установленных на платформу, колеблющуюся по гармоническому закону. Фиксируемые в момент разрушения столбов ускорения платформы принимались в качестве . Так как в действительности разрушение кирпичных сооружений во время землетрясений могло быть не только при таких величинах , но и при любых больших, то сделанная Ф. Омори оценка, в лучшем случае, могла быть использована для определения нижних пределов .

Для определения реальных величин ускорений при землетрясениях необходимы были их инструментальные измерения. Одними из первых таких измерений были записи, сделанные во время Кантского землетрясения, разрушившего 1 сентября 1923 гг. Токио и Иокогаму. В момент землетрясения в лаборатории университета в Токио работало несколько сейсмографов, большинство из которых вышло из строя вначале землетрясения, но некоторые все же сделали записи смещений.

На рис. V.1, б приведены сейсмограммы горизонтальных движений в направлениях СЮ и ЗВ. Более короткая запись охватывает 4 с, и трудно утверждать, что она зафиксировала наиболее активную часть колебаний. Из сейсмограмм в пределах первых 4 с записей был найден средний период колебаний грунта Т=1,334 с. Максимальный размах колебаний в пределах этих 4 с оказался равным 88,9 мм.

Для случая простого гармонического движения по формуле (I.6) и при 2А=8,89 см было найдено ускорение.

следовательно, К_c=0,1.

Эта цифра была принята в нормах ряда стран для К_c при 9-бальной сейсмичности, сохранившись неизменной вплоть до последнего времени.

Анализ поведения сооружений при землетрясениях уже вскоре после появления статистической теории указал на ряд ее недостатков. Прежде всего, выяснилось, что только очень немногие сооружения (и то, конечно, с известным допущением) могут быть отнесены к числу абсолютно жестких. Деформации же большинства сооружений столь существенны, что поступательные перемещения их точек относительно основания могут оказаться даже большими, чем соответствующие перемещения основания (рис.V.1,в).

Рассмотрим, например, конструкцию, колебания которой могут быть описаны упругой системой с одной степенью свободы. Деформационные свойства сооружения (его жесткость) наряду с массой согласно формуле (I.27) или (I.47), определяют его период собственных колебаний. Допустим, что основание этой конструкции подвергнуто гармоническим колебаниям. Если период собственных колебаний такой системы совпадает с периодом колебаний основания (или близок к нему), то возникает явление резонанса, при котором эффект динамического воздействия сильно возрастает (см. рис. I.10). Причем этот эффект будет тем большим, чем меньшим затуханием будет обладать конструкция. Таким образом, мы убеждаемся, что одно и то же динамическое воздействие (пусть это будет интересующее нас землетрясения) в различных по деформационным свойствам и способностям диссипации энергии сооружениях вызовет различной величины инерционные силы, что формулой Омори не отражается. Несмотря на отмеченные здесь и некоторые другие недостатки, теория Омори была шагом вперед в развитии научного подхода к проектированию сейсмических сооружений.

Она позволила оценить порядок сейсмических сил, показав возможность проектировать конструкции, способные успешно противостоять разрушительным силам землетрясения.

Следует отметить, что положение об абсолютной жесткости сооружения, лежащее в основе статистической теории Омори, нашло свое отражение и в соответствующих принципах конструирования зданий – принципах Наито, господствовавших в тот период времени в Японии. Т.Наито считал ненадежными здания с большим периодом собственных колебаний (гибких) и полагал, что для зданий всех типов необходимы жесткие стены, диагональные связи, надежные и жесткие перекрытия и узловые соединения.

Возведенные по проектам Т.Наито стальные и железобетонные сооружения, хорошо перенесли землетрясение в Токио 1923 г., что учитывая массовость обвалов во время этого землетрясения других сооружений, способствовало тому, что принципы Наито заняли доминирующее положение в Японии и используются в этой стране до настоящего времени.

В 1920 г. другой японский ученый Н.Мононобе предложил определять сейсмические силы с учетом деформируемости сооружений. Последние он рассматривал как консервативную линейно-упругую систему с одной степенью свободы, заделанную в грунт, колебания которого при землетрясении следует гармоническому закону (рис. V.1, г). В этом случае в системе действуют следующие силы: сила инерции, пропорциональная полному ускорению массы и восстанавливающая сила, пропорциональная перемещению массы относительно основания , что согласно (I.10) приводит к уравнению

или (V.4)

Из (V.4), учтя (I.14), найдем величину сейсмической нагрузки, равной (здесь z=y₀₊y)

(V.5)

По Мононобе , что приводит к (I.66) при и .

Мононобе в своих расчетах учитывал только вынужденные колебания, т.е. считал, что у=у_Д. Это позволило ему, используя (I.80) и (V.5), получить максимальное значение сейсмической силы

(V.6)

где и Т – угловая частота и период собственных колебаний системы; и - то же, колебания основания; .

Сейсмическая сила S предполагалась Мононобе направленной горизонтально и приложенной точке системы, где сосредоточена масса m.

Максимальное относительное перемещение системы в этой точке, следуя (V.5) и (V.6), будет

(V.7)

Согласно этой записи сейсмическую нагрузку можно представить как статистически приложенную в центре расположения массы, которая вызывает перемещение , равное максимальному перемещению массы относительно основания при колебаниях последнего во время землетрясения.

Отмечая прогрессивное значение теории Мононобе, впервые указавшей на роль динамических характеристик сооружения в формировании сейсмических нагрузок, укажем на те недостатки, которые потребовали ее существенной корректировки.

Опыт землетрясений показывает, что часто наиболее сильные разрушения происходят в начальный момент, когда свободные колебания сооружений, вызванные первыми толчками, еще не затухли. Суммируясь с вынужденными, эти колебания усиливают сейсмические воздействия, что Мононобе учтено не было. Вторым недостатком теории Мононобе было игнорирование затухания колебаний в сооружении и слишком упрощенная схема принятого им закона сейсмических движений основания. Наконец, в связи с тем, что в качестве расчетной модели принята система с одной степенью свободы, теория Мононобе (так же, как и теория Омори) не дает ответа на вопрос о характере распределения сейсмической нагрузки по высоте сооружения, о влиянии на их величины высших форм колебаний. Правда, такая замена действительной системы расчетной для некоторых сооружений не приводит к заметным погрешностям и часто применяется в современных анализах.

Первым на важную роль собственных колебаний в начальной стадии землетрясения обратил внимание в 1927 г. советский ученый К. С. Завриев [V.6]. Впоследствии это привлекло внимание и зарубежных ученых, в частности К.Сюэхиро [V.28] и Неймана [V.35]. Принимая ту же динамическую модель системы, что и Мононобе, и пологая движение грунта гармоническим, К. С. Завриев исходил из предложения, что в начальный момент движения грунта ускорение достигает максимума, а скорость равна нулю, т.е.

(V.8)

где - угловая частота и амплитуда колебаниz грунта, откуда

(V.9)

Используя (V.4) и (V.9),можно записать

(V.10)

Решение (V.10) привело к следующим выражениям для динамического коэффициента и сейсмической нагрузки

и (V.11)

Сравнивая (V.6) и (V.11), убеждаемся, что максимальные величины сейсмических нагрузок, получаемые по формуле Мононобе, в два раза меньше, чем по формуле К.С. Завриева. Этой работой К.С. Завриев развил основы динамической теории определения сейсмических сил.

Подводя итоги сопоставления статистической и динамической теории, отметим, что основным отличием и преимуществом второй является требование ею учета динамических характеристик сооружения при определении возбуждаемых в нем во время землетрясения сил – нагрузок.

Лекция 12

Тема лекции 12. Спектральный метод определения сейсмических нагрузок

План лекции

· Спектральный метод определения сейсмических нагрузок.

Тезисы лекции

Спектральный метод определения сейсмических нагрузок. Метод оценки сейсмических сил с использованием инструментальных записей колебании поверхности грунта основания во время землетрясений.

Акселерограммы землетрясений. Синтезированные акселерограммы. Спектр максимальных ускорений линейного осциллятора. Спектры ускорений по инструментальным данным.

Основное содержание лекции

Спектральный метод определения сейсмических нагрузок

Лекция 13

Тема лекции 13.Определение сейсмических нагрузок по требованиям СНиП РК 2.03-30-2006 «Строительство в сейсмических районах»

План лекции

· Определение сейсмических нагрузок и оценка сейсмостойкости зданий по требованиям СНиП РК 2.03-30-2006 «Строительство в сейсмических районах».

Тезисы лекции

Методика выбора динамической расчетной схемы зданий и сооружений с различными конструктивными схемами по методике СНиП РК 2.03-30-2006 «Строительство в сейсмических районах». Особенности выбора динамической расчетной схемы зданий с мостовыми кранами.

Определение веса несущих и ограждающих конструкции, а также значения временных (длительных и кратковременных) нагрузок для подсчета величины сосредоточенных масс в динамической расчетной схеме. Учет коэффициентов сочетания нагрузок при особом сочетании.

Расчетная сейсмическая нагрузка S_ik в выбранном направлении, приложенная к точке к и соответствующая i-й форме собственных коле­баний здания. Сейсмическая нагрузка S_Ojk для i-й формы собственных колебаний здания, определяемая в предположении упругого деформирования конс­трукций и основания.

Учет ответственности здания, конструктивных решений здания, этажности здания, грунтовых условий площадки строительства, способности здания к рассеиванию энергии колебаний при расчете сейсмической нагрузки.

Коэффициент динамичности β_i, при вычислении горизонтальных сейс­мических нагрузок на здание. Коэффициент динамичности β_i, при определении вертикальных расчетных сейсмических нагрузок.

Коэффициент сейсмичности А_r при определение горизонтальных расчетных сейсмических нагрузок. Коэффициента сейсмичности А_в при определении вертикальных расчетных сейсмических нагрузок.

Расчетные значения поперечной и про­дольной сил, изгибающих моментов, нормальных и касательных напряжений N_r в конструкциях от сей­смической нагрузки. Условия учета крутящего момента при расчете зданий на сейсмические нагрузки.

Расчетные значения горизонтальных перемещений зданий и конструкций, вызванные действием сейсмических нагрузок. Предельно допустимые горизонтальные деформации этажей зданий.

Особенности определения расчетных горизонтальных сейсмических нагрузок, действующих на конструкции, возвыша­ющиеся над зданием и имеющие по сравнению с ним незначительные сечения и вес (парапеты, фронтоны, дымоходы, вентиляционные трубы и т.п.).

Особенности расчета крепления технологического оборудования, рекламных щитов и им подоб­ных элементов на расчетные сейсмические нагрузки.

Особенности расчета горизонтальных конструкции, вес кото­рых по сравнению с весом здания незначителен (балконы, козырьки, консоли для навесных стен, подвесные потолки и их крепления).

Расчет конструкций и оснований зданий и сооружений, проектируемых для строительства в сейсмических районах, на основные и особые сочетания нагрузок с учетом сейсмических воздействий. Расчетная оценка сейсмостойкости зданий. Первая и вторая группа предельных состояний. Условия сейсмостойкости по первой и второй группе предельных состояний.

Особые сочетания нагрузок. Коэффициенты сочетания нагрузок.

Выбор направления горизонтального сейсмического воздействия на здания и сооружения различной конфигурации в плане. Условия одновременного учета действия вертикальных и горизонтальных сейсмических нагрузок.

Условия расчета значения сейсмических нагру­зок на здания:

а) по спектральному методу;

б) с применением набора инструментальных за­писей ускорений основания при землетрясении и синтезированных акселерограмм.

Основное содержание лекции

В соответствии с требованиями п. 5.7 СНиП РК 2.03-30-2006 «Строительство в сейсмических районах» расчетные значения сейсмических нагру­зок на здания следует определять:

а) по спектральному методу;

б) с применением набора инструментальных за­писей ускорений основания при землетрясении и синтезированных акселерограмм (приложение 6).

Определение расчетных сейсмических нагру­зок по п. 5.7а СНиП РК 2.03-30-2006, т.е. по спектральному методу, следует выполнять для всех зда­ний.

Определение расчетных сейсмических нагру­зок по п. 5.7б СНиП РК 2.03-30-2006, т.е. с применением набора инструментальных за­писей ускорений основания при землетрясении и синтезированных акселерограмм, следует выполнять:

· для сооружений, повреждения которых при землетрясениях недопустимы;

· для зданий, оснащенных специальными систе­мами сейсмозащиты;

· в случаях, оговоренных в технических услови­ях на проектирование зданий.

При определении расчетных сейсмичес­ких нагрузок, как правило, следует применять динамические расчетные схемы, учитывающие особенности распределения нагрузок, масс и жесткостей зданий в плане и по высоте, а также пространственный характер деформирования
при сейсмических воздействиях.

Массы (веса) нагрузок и частей зданий в динамической расчетной схеме допускается при­нимать сосредоточенными в точках (узлах расчет­ной схемы).

При вычислении массы (веса) части здания, отнесенной к какой-либо точке, следует учиты­вать постоянные и временные нагрузки, создаю­щие инерционные силы в рассматриваемом на­правлении.

Для вычисления массы (веса) части здания, отнесенной ккакой-либо точке, следует исполь­зовать расчетные значения постоянных и времен­ных нагрузок, умноженные на коэффициенты со­четаний, принимаемые по табл. 5.1 СНиП РК 2.03-30-2006 «Строительство в сейсмических районах».