Тепловые машины и стрела времени

Сравнивая механические устройства с тепловыми машинами, например с паровозными котлами с их рас­каленными докрасна топками, мы наглядно видим брешь, отделяющую классический век от технологии XIX в. Тем не менее физики поначалу думали, что эту брешь можно игнорировать, что тепловые машины удастся описывать так же, как некогда механические, пренебре­гая тем решающим фактом, что использованное тепло-

вой машиной горючее исчезает навсегда. Но вскоре по­добному благодушию пришел конец. Для классической механики символом природы были часы, для индустри­ального века таким символом стал резервуар энергии, запас которого всегда грозил иссякнуть. Мир горит как огромная печь; энергия, хотя она и сохраняется, непре­рывно рассеивается.

Первоначальную формулировку второго начала тер­модинамики, которая позволила впервые количественно выразить необратимость, предложил в 1824 г. Сади Карно — до того, как Майер (1842) и Гельмгольц (1847) сформулировали в общем виде закон сохранения энер­гии. Карно, продолжая работу своего отца Лазара Карно, автора весьма авторитетного трактата по теории машин (механических устройств), занимался анализом работы тепловой машины.

При описании механических устройств движение предполагается заданным. На современном языке это соответствует сохранению энергии и импульса. Движение лишь претерпевает превращения и передается другим телам. Но аналогия между механическим устройством и тепловой машиной была естественной для Сади Кар­но, поскольку он, как и большинство ученых его време­ни, предполагал, что тепло сохраняется подобно тому, как сохраняется механическая энергия.

Вода, падающая с одного уровня на другой, способ­на приводить в движение мельничное колесо. Аналогич­ным образом Сади Карно предположил, что существуют два источника, один из которых отдает тепло системе двигателя, а второй, находящийся при другой темпера­туре, поглощает тепло, отданное первым. Таким обра­зом, работу тепловой машины Сади Карно представил как движение тепла через машину между двумя источ­никами, находящимися при различных температурах. Иначс говоря, работу, производимую машиной, по Кар­но, совершает движущая сила огня.

Сади Карно поставил перед собой те же вопросы, какие задавал его отец¹³. У какой машины коэффициент полезного действия будет наиболее высоким? Каковы источники потерь? При каких процессах тепло распро­страняется, не производя работы? Лазар Карно пришел к заключению, что для достижения наивысшего коэф­фициента полезного действия при постройке и эксплуа­тации механического устройства следует сводить до минимума удары, трение и резкие, скачкообразные изме­нения скорости, т. е., короче говоря, все, что происходит при внезапном соприкосновении тел, движущихся с раз­личными скоростями. Рассуждая так, Лазар Карно лишь следовал физике своего времени, считавшей, что только непрерывные изменения консервативны, а все скачко­образные изменения движения сопряжены с необрати-

мой потерей «живой силы». Заключение Сади Карно было аналогичным: идеальная тепловая машина вместо того, чтобы избегать любых контактов между телами, движущимися с различными скоростями, должна избе­гать любых контактов между телами, имеющими раз­личные температуры.

Следовательно, рассуждал Сади Карио, цикл необ­ходимо строить так, чтобы ни одно изменение темпера­турыне было обусловлено прямым потоком тепла меж­ду двумя телами, находящимися при различных темпе­ратурах. Поскольку такие потоки не производили бы никакой механической работы, они приводили бы только к снижению кпд.

Идеальный цикл Kарно представляет собой, таким образом, весьма хитроумное приспособление, позволяю­щее достигать парадоксального результата: переноса тепла между двумя источниками, находящимися при различных температурах, без прямого контакта между телами с различной температурой. Цикл Карно подраз­деляется на четыре стадии. На каждой из двух изотер­мических стадий система находится в контакте с одним из двух тепловых источников, а ее температура поддер­живается равной температуре этого источника. Нахо­дясь в контакте с горячим источником (нагревателем), система поглощает тепло и расширяется. Находясь в контакте с холодным источником (холодильником), си­стема теряет тепло и сжимается. Две изотермические стадии связаны между собой двумя стадиями, на кото­рых система изолирована от источников, т. е. тепло не поступает в систему и не покидает ее, но температура системы изменяется в результате соответственно рас­ширения и сжатия. Объем продолжает изменяться до тех нор, пока система не перейдет от температуры од­ного источника к температуре другого.

Весьма замечательно, что в приведенном выше опи­сании идеальной тепловой машины ни разу не упомина­ются лежащие в основе его реализации необратимые процессы. Ни слова не говорится о печи, в которой сго­рает уголь. Предложенная Сади Карно модель отража­ет лишь конечный результат горения: возможность под­держания разности температур между двумя источни­ками.

В 1850 г. Клаузиус дал новое описание цикла Кар­но — с точки зрения закона сохранения энергии. Он об-

наружил, что необходимость в двух тепловых источниках (нагревателе и холодильнике) и выведенная Карно фор­мула для теоретического кпд отражают проблему, спе­цифическую для тепловых машин: необходимость про­цесса, компенсирующего превращение (в случае цикла Карно — охлаждение в контакте с источником, находя­щимся при более низкой температуре), для того чтобы вернуть машину к начальным механическим и тепловым условиям. Соотношения баланса, выражающие превра­щения энергии, оказались теперь объединенными новы­ми отношениями эквивалентности между воздействиями двух процессов — потока тепла между источниками и превращения тепла в работу — на состояние системы. Новая наука — термодинамика, — установившая связь между механическими и тепловыми эффектами, обрела существование.

Работа Клаузиуса наглядно показала, что мы не можем неограниченно использовать, казалось бы, не­ограниченный резервуар энергии, который предоставляет нам природа. Не все процессы, при которых энергия сохраняется, возможны. Например, невозможно создать разность энергий, не уничтожив при этом по крайней мере ее эквивалентность. В идеальном цикле Карно тепло, переносимое от одного источника к другому, есть та цена, которую приходится платить за производимую работу. Осуществив цикл Карно, мы получаем, с одной стороны, произведенную механическую работу, а с дру­гой стороны, перенос тепла, причем то и другое связа­но между собой отношением эквивалентности. Эта эк­вивалентность действует в обоих отношениях. Обрат­ным ходом та же машина может восстановить началь­ную разность температур, затратив произведенную ра­боту. Невозможно построить тепловую машину только с одним источником тепла.

Клаузиуса так же, как и Карно, не интересовали потери, за счет которых кпд всех реальных тепловых машин ниже предсказываемого теорией идеального зна­чения. Теория Клаузиуса так же, как и теория Карно, отвечает некоторой идеализации. Она указывает лишь предел, который устанавливает природа для эффектив­ности тепловых машин.

Но с XVIII в. статус идеализации изменился. Опи­раясь на закон сохранения энергии, новое естествозна­ние стало претендовать на описание не только идеали-

заций, но и самой природы, включая «потери». Возник­ла новая проблема, и в физику вошла необратимость. Как описать то, что происходит в реальной машине? Как включить в баланс энергии потери? Насколько сни­жают потери кпд реальной машины? Ответы на все эти вопросы проложили путь ко второму началу термоди­намики.

От технологии к космологии

Как мы уже знаем, вопрос, поднятый Карно и Клаузиусом, привел к теории идеальных тепловых машин, основанной на сохранении энергии и компенсации. Кро­ме того, стало возможным ставить (и решать) новые проблемы, такие, как диссипация энергии. Уильям Томсон, питавший глубочайшее уважение к работе Фурье, быстро осознал важность этой проблемы и в 1852 г. первым сформулировал второе начало термодинамики.

На теплопроводность, математическую теорию кото­рой построил Фурье, Карно указал как на возможную причину энергетических потерь в тепловом двигателе. Так цикл Карно, уже более не идеальный, а «реальный», стал точкой конвергенциидвух универсалий, открытых в XIX в.: превращения энергии и теплопроводности. Со­четание этих двух открытий привело Томсона к форму­лировке его нового принципа: существования в природе универсальной тенденции к деградации механической энергии. Обращаем особое внимание на слово «универ­сальная», перекликающееся со словом «универсум», т. е. весь мир, или Вселенная.

Мир Лапласа был идеальным вечным двигателем. Начиная с Томсона, космология перестает быть только отражением нового идеального теплового двигателя, но и включает последствии необратимого распространения тепла в мире, в котором энергия сохраняется. Этот мир космология Томсопа описывала как машину, в которой тепло превращается в движение лишь ценой определен­ных необратимых потерь и бесполезной диссипации. Со­ответственно уменьшились различия в природе, способ­ные производить механический эффект. Мир использует эти различия при переходе от одного превращения к другому и стремится к конечному состоянию теплового равновесия — «тепловой смерти». В соответствии с за­коном Фурье при достижении миром конечного состоя-

ния исчезнут всякие различия в температуре, способные производить механический эффект.

Томсон совершил головокружительный прыжок от технологии тепловой машины к космологии. В своей формулировке второго начала термодинамики он исполь­зовал научную терминологию середины XIX в.: «сохра­нение энергии», «тепловой двигатель», «закон Фурье». Немаловажную роль сыграла и культурная среда, в ко­торой было совершено открытие. Общепризнано, что в XIX в. проблема времени приобрела новое значение. Существенную роль времени начали отмечать во всех областях: в геологии, биологии, языкознании, социоло­гии и этике. Вместе с тем интересно отметить, что та специфическая форма, в которой время вошло в физику, именно как тенденция к однородности и смерти, в боль­шей мере напоминает о древних мифологических и ре­лигиозных архетипах, чем о все нарастающем усложне­нии и многообразии, описываемыми биологией и соци­альными науками. Возвращение этих древних тем мож­но рассматривать как культурный отзвук социальных и экономических сдвигов времени. Быстрая трансфор­мация технологического способа взаимодействия с при­родой, постоянно нарастающий темп изменения, с кото­рым столкнулся XIX век, не могли не вызвать тревогу. Это беспокойство не оставляет и нас и принимает самые различные формы в виде повторяющихся призывов к «нулевому росту» общества или к мораторию на науч­ные исследования до провозглашения «научных истин» относительно нашего распадающегося мира. Современ­ные знания в области астрофизики все еще остаются скудными и во многом проблематичными. Трудность продвижения в этой области физики отчасти обуслов­лена тем, что в астрофизике гравитационные эффекты играют существенную роль и проблемы требуют одно­временного использования термодинамики и теории от­носительности. Тем не менее большинство работ в этой области с удивительным единодушием предсказывает грядущую катастрофу... Одна из последних книг на эту тему рисует такую картину:

«Неприятная истина состоит, по-видимому, в том, что неумолимый распад нашей Вселенной, насколько мы можем судить, неизбежен; организация, охватываю­щая всякую упорядоченную деятельность от людей до галактик, медленно, но неизбежно деградирует и может

даже кануть в небытие в результате всеобщего грави­тационного коллапса»¹⁴.

Другие более оптимистичны. В превосходной научно-популярной статье об энергии Вселенной Фримен Дайсон пишет следующее:

«Вполне возможно, однако, что жизнь играет более важную роль, чем принято думать. Возможно, что жизни суждено выстоять против всех невзгод, преобразуя мир для собственных целей. И структура неодушевленного мира может оказаться не столь уж далекой от потенциальностей жизни и разума, как имеют обыкновение полагать ученые XX в.»¹⁵

Несмотря на существенный прогресс, достигнутый Хокингом и другими исследователями*, наше знание крупномасштабных преобразований во Вселенной все еще остается неадекватным.

Рождение энтропии

В 1865 г. настал черед совершить скачок от техно­логии к космологии для Клаузиуса. Сначала он лишь переформулировал свои более ранние выводы, но при этом ввел новое понятие — энтропия. Первоначально Клаузиус намеревался четко разграничить понятия со­хранения и обратимости. В отличие от механических превращений, для которых обратимость и сохранение совпадают, при физико-химическом превращении энер­гия может сохраняться даже в том случае, если преоб­разование необратимо. Это, в частности, относится к трению, когда движение превращается в тепло, или к теплопроводности, описанной Фурье.

Мы уже знакомы с таким понятием, как «энергия». Она является функцией состояния системы, т. е. функ­цией, зависящей только от значений параметров (дав­ления, объема, температуры) , которые однозначно опре-

* Наиболее важные результаты были получены Е. М. Лифшицем, Б. Боннором, Дж. Силком, А. Ю. Дж. Пиблсом, Я. Б. Зельдовичем, А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым, Р. А. Сюняевым, С. Ф. Шандариным и др. С современным состоянием теории крупномасштабной структуры Вселенной читатель может познакомиться по следующим работам: сб. Крупномасштабная структура Вселенной. М., 1981; Зельдович Я. Б. Избранные труды. Частицы, ядра Вселенная. М., 1985, особенно с. 280—283. — Прим. перев.

деляют состояние¹⁶. Но нам необходимо выйти за рамки закона сохранения энергии и найти способ, позволяющий выразить различие между «полезными» обменами энер­гией в цикле Карно и «диссипированной» энергией, те­ряемой необратимо.

Именно такую возможность и предоставляет введен­ная Клаузиусом новая функция, получившая название «энтропия» и обычно обозначаемая буквой S.

Клаузиус, по-видимому, намеревался лишь записать в новом виде очевидное требование, состоящее в том, что в конце цикла тепловая машина должна возвра­щаться в начальное состояние. В первом определении энтропии основной акцент делался на сохранении: в кон­це каждого цикла, идеального или с потерями, функция состояния системы — энтропия — возвращается к своему начальному значению. Но параллель между энтропией и энергией заканчивается, стоит лишь нам отказаться от принятых идеализаций¹⁷

Рассмотрим приращение энтропии dS за короткий интервал времени dt. В случае идеальной и реальной тепловой машины ситуация совершенно различная. В первом случае dS можно полностью выразить через теплообмен между машиной и окружающей средой. Можно поставить специальные опыты, в которых систе­ма будет отдавать тепло вместо того, чтобы поглощать его. Соответствующее приращение энтропии при этом лишь изменит знак. Такую составляющую полного при­ращения энтропии мы обозначим d_eS. Она обратима в том смысле, что может быть и положительной, и отри­цательной. В реальных машинах мы сталкиваемся с со­вершенно иной ситуацией. В них, ломимо обратимого теплообмена, происходятнеобратимые процессы: тепло­вые потери, трение и т. д. Они приводят к увеличению энтропии, или производству энтропии, внутри системы. Увеличение энтропии, которое мы обозначим d_iS, не может изменять знак при обращении теплообмена с внешним миром. Как все необратимые процессы (на­пример, теплопроводность), производство энтропии всег­да происходит в одном и том же направлении. Иначе говоря, величина d_iS может быть только положительной или обращаться в нуль в отсутствие необратимых про­цессов. Заметим, что положительность d_iS—вопрос со­глашения: с тем же успехом мы могли бы считать ве­личину d_iS отрицательной. Важно другое: изменение

энтропии монотонно; производство энтропии не может изменять знак во времени.

Выбор обозначений d_eS и d_iS призван напоминать читателю, что первый член относится к обмену энерги­ей (по-английски exchange — e) с внешним миром, а второй — к необратимым процессам внутри (по анг­лийски inside — i) системы. Таким образом, полное при­ращение энтропии dS представимо в виде суммы двух членов d_eS и d_iS, имеющих различный физический смысл¹⁸.

Чтобы понять одну специфическую особенность тако­го разложения приращения энтропии в сумму двух членов, полезно применить наши рассуждения к энергии. Обозначим энергию через Е, и пусть dE — приращение энергии за короткий интервал времени dt. Разумеется, ничто не мешает нам представить dE в виде суммы чле­на d_eE, описывающего обмен энергией с внешним миром, и члена d_iE, связанного с «внутренним производством» энергии. Но закон сохранения энергии утверждает, что энергия никогда не «производится», а лишь переносится с одного места на другое. Следовательно, полное при­ращение энергии dE сводится к d_eE. С другой стороны, если мы возьмем какую-нибудь несохраняющуюся вели­чину, например количество молекул водорода в некото­ром сосуде, то такая величина может изменяться и в результате добавления водорода в сосуд, и вследствие химических реакций, протекающих в сосуде. Знак «про­изводства» несохраняющейся величины заранее не опре­делен. В зависимости от обстоятельств мы можем и про­изводить молекулы водорода, и разрушать их, «отдавая» атомы водорода другим химическим соединениям. Спе­цифическая особенность второго начала состоит в том, что член d_iS, описывающий производство энтропии, всегда положителен. Производство энтропии отражает необратимые изменения, происходящие внутри системы.

Клаузиусу удалось найти количественное выражение для потока энтропии d_eS через тепло, поглощаемое (или отдаваемое) системой. В мире, где безраздельно господ­ствуют понятия обратимости и сохранения, вывод такой зависимости имел первостепенное значение. Что же ка­сается необратимых процессов, участвующих в производ­стве энтропии, то Клаузиус смог установить лишь не­равенство d_iS/dt>0. Но и оно было важным шагом впе­ред, поскольку позволяло проводить различие между

потоком энтропии и производством энтропии не только для цикла Kapно, но и для других термодинамических систем. Для изолированной системы, которая ничем не обменивается с окружающей средой, поток энтропии, по определению, равен нулю. Остается лишь член, опи­сывающий производство энтропии, а энтропия системы может только возрастать или оставаться постоянной. В этом случае сам собой отпадает вопрос о необрати­мых изменениях, рассматриваемых как приближение к обратимым изменениям: возрастающая энтропия со­ответствует самопроизвольной, эволюции системы. Энт­ропия становится, таким образом, «показателем эволю­ции», или, по меткому выражению Эддингтона, «стре­лой времени». Для изолированных систем будущее всегда расположено в направлении возрастания энтропии.

Какая система может быть изолирована лучше, чем наша Вселенная? Эта идея легла в основу космологиче­ской формулировки первого и второго начал термоди­намики, предложенной Клаузнусом в 1865 г.:

Die Energie der Welt ist konstant.

Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu¹⁹*.

Утверждение о том, что энтропия изолированной си­стемы возрастает до максимального значения, выходит за рамки той технологической проблемы, решение ко­торой привело к созданию термодинамики. Возрастаю­щая энтропия перестает быть синонимом потерь. Теперь она относится к естественным процессам внутри систе­мы. Под влиянием этих процессов система переходит в термодинамическое «равновесие», соответствующее состоянию с максимумом энтропии.

В главе 1 мы отмечали элемент некоторой неожидан­ности в открытии Ньютоном универсальных законов ди­намики. Когда Сади Карно сформулировал свои законы для идеальных тепловых машин, он не мог даже вообра­зить, что его работа приведет к концептуальной револю­ции в физике.

Обратимые преобразования принадлежат классиче­ской науке в том смысле, что определяют возможность воздействия на систему, управления системой. Динами­ческим объектом можно управлять, варьируя начальные условия. Аналогичным образом термодинамическим

* Энергия мира постоянна. Энтропия мира стремится к максимуму (нем.). — Прим. перев.

объектом, определяемым в терминах обратимых пре­образований, можно управлять, изменяя граничные усло­вия: любая система, находящаяся в состоянии термоди­намического равновесия, при постепенном изменении температуры, объема или давления проходит через се­рию равновесных состояний и при любом обращении производимых над ней манипуляций возвращается в на­чальное состояние. Обратимый характер таких измене­ний и управление объектом через граничные условия— процессы взаимозависимые. С этой точки зрения необра­тимость «отрицательна»: она проявляется в форме не­управляемых изменений, происходящих в тех случаях, когда система выходит из-под контроля. Наоборот, не­обратимые процессы можно рассматривать как последние остатки самопроизвольной внутренней активности, проявляемой природой, когда человек с помощью экс­периментальных устройств пытается обуздать ее.

Таким образом, «отрицательное» свойство — диссипа­ция — показывает, что в отличие от динамических объ­ектов термодинамические объекты управляемы не до конца. Иногда они «выходят из повиновения», претерпе­вая самопроизвольное изменение.

Для термодинамической системы все изменения не эквивалентны. В этом и состоит физический смысл раз­ложения dS=d_eS+d_iS. Самопроизвольное изменение d_iS, направленное к равновесию, отличается от измене­ния d_eS, определяемого и управляемого варьированием граничных условий (например, температуры окружаю­щей среды). В случае изолированной системы равно­весие выступает в роли притягивающего множества, или «аттрактора», неравновесных состояний. Следова­тельно, наше первоначальное утверждение допускает обобщение: эволюция к состоянию-аттрактору отличает­ся от всех других изменений, в особенности от измене­ний, обусловленных варьированием граничных условий.

Макс Планк часто подчеркивал различие между двумя типами изменений, встречающихся в природе. Природа, писал Планк, по-видимому, отдает «предпочте­ние» определенным состояниям. Необратимое увеличе­ние энтропии d_iS/dt описывает приближение системы к состоянию, неодолимо «притягивающему» ее, предпочи­таемому ей перед другими, — состоянию, из которого система не выйдет по «доброй воле».

«Согласно этому способу выражения, в природе не­возможны те процессы, при которых природа дает мень­шее предпочтение конечному состоянию, чем начально­му. Предельный случай представляет обратимые про­цессы; в них природа испытывает одинаковое предпочте­ние как к начальному, так и к конечному состоянию, и поэтому переход из одного состояния в другое может происходить в обоих направлениях»²⁰.

Сколь чуждым выглядит такой язык по сравнению с языком динамики! В динамике система изменяется вдоль заданной раз и навсегда траектории, не забывая начальную точку (так как начальные условия опреде­ляют всю траекторию при любых значениях времени). В случае же изолированной системы все неравновесные ситуации порождают эволюцию к равновесному состоя­нию одного и того же типа. К моменту достижения рав­новесия система забывает свои начальные условия, т. е. способ, которым она была приготовлена.

Удельная теплоемкость или сжимаемость системы, находящейся в состоянии термодинамического равнове­сия, являются свойствами, не зависящими от того, как была построена система. Это счастливое обстоятельство значительно упрощает исследование физических состоя­ний вещества. Действительно, сложные системы состо­ят из огромного числа частиц*. С точки зрения динами­ки воспроизвести любое состояние такой системы не­возможно из-за бесконечного разнообразия состояний, в которых она может находиться.

Мы сталкиваемся, таким образом, с двумя принци­пиально различными описаниями: динамикой, примени­мой к миру движения, и термодинамикой, наукой о слож­ных системах, наделенных внутренней способностью эволюционировать в сторону увеличения энтропии. Столь резкая противоположность двух описаний немедленно порождает вопрос о том, какая взаимосвязь существует между ними. Эта проблема дискутируется в науке с тех пор, как были сформулированы начала термодинамики.

* В физической химии часто используется число Авогадро, т. е. число молекул в одном «моле» вещества (моль содержит одно и то же число частиц, равное, например числу атомов в одном грамме водорода). Это число 6*10²³. Такой же порядок характерен и для числа частиц, образующих системы, описываемые классической тер­модинамикой.

Принцип порядка Больцмана

Второе начало термодинамики содержит два прин­ципиально важных элемента: 1) «негативный», выра­жающий запрет на некоторые процессы, т. е. их невоз­можность (тепло может распространяться от горячего источника к холодному, но не от холодильника к нагре­вателю); 2) «положительный», конструктивный. Второй элемент является следствием первого: запрет на некото­рые процессы позволяет нам ввести функцию (энтро­пию), монотонно возрастающую для изолированных си­стем. Энтропия ведет себя КАК аттрактор для изолиро­ванных систем.

Каким образом положения термодинамики можно было бы совместить с динамикой? В конце XIX в. боль­шинство ученых, по всей видимости, склонны были ду­мать, что термодинамика несовместима с динамикой. Принципы термодинамики были новыми законами, за­кладывающими фундамент новой науки, не сводимой к традиционной физике. Качественное многообразие энергии и присущую ей тенденцию к диссипации прихо­дилось принимать как новые аксиомы. Таким был аргу­мент, выдвигаемый «энергетистами» в противовес «атомистам», упорно не желавшим отказаться от выполне­ния программы, в которой они усматривали высшую миссию физики — сведение сложности явлений природы к простоте поведения элементарных структурных еди­ниц, выражаемого законами движения.

Проблемы перехода от микроскопического уровня к макроскопическому оказались необычайно плодотвор­ными для физики в целом. Первым вызов принял Больцман. Тонкая физическая интуиция подсказывала ему, что необходимо выработать какие-то новые понятия, ко­торые позволили бы обобщить физику траекторий, рас­пространив ее на системы, описываемые термодинами­кой. Следуя по стопам Максвелла, Больцман принялся искать концептуальные новации в теории вероятности.

В самой идее о том, что вероятность могла бы играть определенную роль в описании сложных явлений, ничего удивительного не было: у Максвелла она, по-видимому, зародилась под влиянием трудов Кетле, который первым ввел в социологию понятие «среднего» человека. Нова­цией было введение вероятности в физику не как сред­ства аппроксимации, а как объясняющего принципа, ис-

пользование ее для демонстрации нового типа поведе­ния систем, состоящих из огромного числа частиц: на­личие большой популяции позволяло применять правила теории вероятностей.

Рассмотрим один простой пример применения поня­тия вероятности в физике. Предположим, что ансамбль из N частиц находится в ящике, разделенном на два равных отделения. Требуется найти вероятность различ­ных распределений частиц между отделениями, т. е. найти вероятность обнаружить N₁ частиц в первом от­делении (и N₂=N—N₁ частиц во втором).

Комбинаторный анализ позволяет легко сосчитать число способов, которыми получается каждое из раз­личных распределений N частиц. Например, при N=8 поместить восемь частиц в одну половину ящика можно лишь одним способом. Но если предположить, как это делается в классической физике, что все частицы раз­личимы, то поместить одну частицу в одном отделении, а остальные семь — в другом отделении ящика можно восемью различными способами. Распределить восемь частиц поровну между двумя половинами ящика можно 8!/4!4!=70 различными способами (где n! = 1×2×3... × (п—1) ×n). Аналогичным образом при любом N можно указать число Р способов, которыми можно получить любое заданное распределение (N₁, N₂), или, как при­нято говорить в физике, комплексов. Оно определяется выражением P=N!/N₁N₂!.

Чем больше число комплексов в любом ансамбле частиц, тем меньше отличаются между собой числа N₁ и N₂. Число комплексов максимально, когда частицы поровну распределены между двумя отделениями ящи­ка. Кроме того, чем большеN, тем больше отличаются между собой числа комплексов, соответствующие раз­личным распределениям. При значениях N порядка 10²³, достижимых в макроскопических системах, подавляю­щее большинство распределений соответствует случаю N₁=N₂=N/2. Следовательно, для систем, состоящих из большого числа частиц, все состояния, отличающиеся от состояния, которое соответствует равномерному рас­пределению, маловероятны.

Больцман первым понял, что необратимое возраста­ние энтропии можно было бы рассматривать как про­явление все увеличивающегося молекулярного хаоса, постепенного забывания любой начальной асимметрии,

поскольку асимметрия приводит к уменьшению числа комплексов по сравнению с состоянием, отвечающим максимальному значению Р. Придя к такому выводу, Больцман решил отождествить энтропию S с числом комплексов: каждое макроскопическое состояние энтро­пия характеризует числом способов, которым оно может быть достигнуто. Знаменитое соотношение Больцмана S=klnP* выражает ту же идею количественно. Коэффи­циент пропорциональности k в этой форме — универ­сальная постоянная, известная под названием «постоян­ная Больцмана».

Результаты Больцмана означают, что необратимое термодинамическое изменение есть изменение в сторону более вероятных состояний и что состояние-аттрактор есть макроскопическое состояние, соответствующее мак­симуму вероятности. Такие выводы уводят нас далеко за пределы физики Ньютона. Впервые интерпретация физического понятия была дана в терминах вероятности. Полезность больцмановской интерпретации непосред­ственно очевидна. Вероятность позволяет адекватно объ­яснить, почему система забывает любую начальную асимметрию, детали любого конкретного распределения (например, какие частицы были первоначально сосре­доточены в данной подобласти системы, или распреде­ление скоростей, возникшее при смешении двух газов с различными температурами). Забывание начальных условий возможно потому, что, как бы ни эволюциони­ровала система, она в конечном счете перейдет в одно из микроскопических состояний, соответствующих мак­роскопическому состоянию хаоса и максимальной сим­метрии, поскольку именно такие макроскопические со­стояния составляют подавляющее большинство всех возможных микроскопических состояний. Коль скоро наиболее вероятное состояние достигнуто, система от­клоняется от него лишь на небольшие расстояния и на короткие промежутки времени. Иначе говоря, система лишь флуктуирует около состояния-аттрактора.

Из принципа порядка Больцмапа следует, что наибо­лее вероятным состоянием, достижимым для системы, является такое, в котором события, происходящие в си-

* Логарифм в этом выражении свидетельствует о том,что энтро­пия — величина аддитивная (S₁₊₂=S₁+S₂), тогда как число комплек­сов Р мультипликативно (P₁₊₂=P₁×P₂).

стеме одновременно, статистически взаимно компенси­руются. Каково бы ни было начальное распределение в нашем первом примере, эволюция системы в конечном счете приведет к равномерному распределению N₁=N₂. По достижении этого состояния необратимая макро­скопическая эволюция системы завершается. Разумеет­ся, частицы будут по-прежнему переходить из одной половины ящика в другую, но в среднем в любой мо­мент времени число частиц, движущихся в одном на­правлении, будет совпадать с числом частиц, движу­щихся в противоположном направлении. В результате движение частиц способно вызывать лишь малые, короткоживущие флуктуации вблизи равновесного состоя­ния N₁=N₂. Таким образом, вероятностная интерпре­тация Больцмана позволяет понять специфическую осо­бенность аттрактора, изучаемого равновесной термоди­намикой.

На этом история не заканчивается, и всю третью часть нашей книги мы посвятим более подробному об­суждению затронутого круга проблем, а пока ограни­чимся несколькими замечаниями. В классической (и, как мы увидим в дальнейшем, квантовой) механике все определяется в терминах начальных состояний и зако­нов движения. Каким же образом в описание природы входит вероятность? Обычно, отвечая на этот вопрос, ссылаются на то, что мы не знаем с абсолютной точно­стью динамическое состояние системы. Это — субъек­тивистская интерпретация энтропии. Такая интерпрета­ция была бы приемлема, если бы необратимые процессы мы рассматривали лишь как досадные помехи, соответ­ствующие трению, или, более общо, как потери при функционировании тепловых машин. Но ныне ситуация изменилась. Как мы увидим, необратимым процессам отводится важнейшая конструктивная роль: так, без них была бы невозможна жизнь. Все это делает субъекти­вистскую интерпретацию весьма спорной. В какой мере допустимо считать, что мы сами являемся результатом неполноты собственного знания, следствием того, что нашему наблюдению доступны лишь макроскопические состояния?

И в термодинамике, и в ее вероятностной интерпре­тации возникает асимметрия во времени: энтропия воз­растает в направлении будущего, но не прошлого. Если мы рассматриваем динамические уравнения, инвариант-

ные относительно обращения времени, то такая асим­метрия представляется невозможной. Как мы увидим в дальнейшем, второе начало термодинамики представ­ляет собой принцип отбора, совместимый с динамикой, но не выводимый из нее. Второе начало ограничивает возможные начальные условия, доступные для динами­ческой системы. Следовательно, второе начало термо­динамики знаменует радикальный отход от механисти­ческого мира классической или квантовой механики. Но вернемся к работам Больцмана.

До сих пор мы рассматривали изолированные систе­мы, в которых число частиц и полная энергия заданы граничными условиями. Но объяснение Больцмана до­пускает обобщение на открытые системы, взаимодей­ствующие с окружающей средой. В замкнутой системе, определяемой граничными условиями так, что ее темпе­ратура Т поддерживается постоянной за счет теплооб­мена с окружающей средой, равновесие соответствует не максимуму энтропии, а минимуму аналогичной функ­ции, получившей название свободной энергии: F=E—TS, где Е — энергия системы, Т — ее температура по так на­зываемой шкале Кельвина (точка замерзания воды со­ответствует 273 °К, а точка кипения 373 °К).

Соотношение F=E—TS означает, что равновесие есть результат конкуренции между энергией и энтропией, а температура выступает в роли множителя, определяю­щего относительный вес этих двух факторов. При низ­ких температурах перевес на стороне энергии, и мы на­блюдаем образование таких упорядоченных (с малой энтропией) и низкоэнергетических структур, как кри­сталлы. Каждая молекула внутри таких структур взаи­модействует со своими соседями, и их кинетическая энергия мала по сравнению с потенциальной энергией, обусловленной взаимодействиями между соседними мо­лекулами. Каждая молекула как бы скована взаимо­действием со своими соседями. При высоких темпера­турах доминирует энтропия и в системе устанавлива­ется молекулярный хаос. Важность относительного движения возрастает, и регулярность в строении кри­сталла нарушается: по мере увеличения температуры вещество переходит сначала в жидкое, а затем в газо­образное состояние.

Энтропия S изолированной системы и свободная энергия системы при заданной температуре являются

примерами так называемых термодинамических потен­циалов. Экстремумы (т. е. максимумы и минимумы) термодинамических потенциалов, в том числе S и F, задают состояния-аттракторы, к которым самопроизволь­но стремится система, если ее граничные условия соот­ветствуют определениям потенциалов.

Принцип порядка Больцмана может быть использо­ван и при исследовании сосуществования структур (на­пример, жидкой и твердой фаз) или равновесия между кристаллизовавшимся продуктом и тем же продуктом в растворе. Не следует, однако, забывать о том, что равновесные структуры определены на молекулярном уровне. Взаимодействие между молекулами на расстоя­нии порядка 10^-8 см, т. е. порядка диаметра атомов в молекулах, делает устойчивой структуру кристаллов и наделяет их макроскопическими свойствами. С другой стороны, размеры кристалла не являются внутренним свойством структуры. Они зависят от того, какое коли­чество вещества находится в кристаллической фазе при равновесии.

Карно и Дарвин

Равновесная термодинамика позволяет удовлетвори­тельно объяснить огромное число физико-химических явлений. Тем не менее уместно спросить, охватывает ли понятие равновесной структуры все те различные струк­туры, с которыми мы сталкиваемся в природе. Ясно, что ответ на подобный вопрос может быть только отри­цательным.

Равновесные структуры можно рассматривать как результат статистической компенсации активности мик­роскопических элементов (молекул, атомов). На гло­бальном уровне равновесные структуры, по определе­нию, инертны. По той же причине они «бессмертны»: коль скоро равновесная структура образовалась, ее мож­но изолировать и поддерживать бесконечно долго без дальнейшего взаимодействия с окружающей средой. Но при изучении биологической клетки или города мы стал­киваемся с совершенно другой ситуацией: эти системы не только открыты, но и существуют только потому, что они открыты. Их питают потоки вещества и энергии, которые поступают из внешнего мира. Мы можем изо­лировать кристалл, но если города и клетки отрезать от окружающей среды, они погибнут. Последние явля-

ются неотъемлемой составной частью того мира, из ко­торого они черпают необходимые для себя «питатель­ные вещества», и их невозможно изолировать от пото­ков, которые они безостановочно перерабатывают.

Но не только живая природа глубоко чужда моделям термодинамического равновесия. Обмен веществом и энергией с окружающей средой происходит также во многих гидродинамических явлениях и в химических реакциях.

Трудно понять, каким образом принцип порядка Больцмана может быть применен во всех таких случа­ях. То, что с течением времени система становится более однородной, в терминах комплексов интерпретируется вполне естественно: в состоянии однородности, когда забыты «различия», созданные начальными условиями, число комплексов максимально. Но решительно невоз­можно понять, оставаясь в рамках такого рода пред­ставлений, спонтанное возникновение конвекции. Конвективное течение требует когерентности, согласованного поведения огромного числа молекул. Это — противо­положность хаоса, привилегированное состояние, кото­рому может соответствовать лишь сравнительно неболь­шое число комплексов. По терминологии Больцмана, конвективное течение — пример «невероятного» состоя­ния. Но если конвекцию надлежит считать «чудом», то что в таком случае говорить о жизни в ее многочислен­ных проявлениях и в высшей степеней специфических особенностях даже в случае простейших организмов?

Вопрос о том, в какой мере равновесные модели со­ответствуют действительности, допускает обращение. Чтобы возникло равновесие, систему необходимо «защи­тить», «заэкранировать» от потоков, образующих в сво­ей совокупности природу. Система должна быть «за­паяна» в консервную банку или помещена в стеклянный сосуд, как гомункулус в гётевском «Фаусте», обращаю­щийся к создавшему его алхимику со следующими сло­вами:

Прижми к груди свое дитя!

Но — бережно, чтоб не разбилась склянка.

Вот неизбежная вещей изнанка:

Природному Вселенная тесна,

Искусственному же замкнутость нужна!*

* Гёте И. В. Фауст, часть II. Сцена в лаборатории Вагнера (nepев. Б. Пастернака).

В привычном нам мире равновесие — состояние редкое и весьма хрупкое. Даже эволюция к состоянию равно­весия возможна в мире, очень похожем на наш и нахо­дящемся на достаточном удалении от Солнца, чтобы имело смысл говорить по крайней мере о частичной изоляции системы (при температуре Солнца систему вряд ли разумно считать заключенной в «консервную банку»), но в то же время таком, в котором правилом является отсутствие равновесия, «тепличном» мире, где равновесие и неравновесие сосуществуют.

Однако на протяжении довольно длительного перио­да времени физики считали, что инертная структура кристаллов — единственный предсказуемый и воспроизво­димый физический порядок, а приближение к равнове­сию — единственный тип эволюции, выводимый из фун­даментальных законов физики. Любая попытка экстра­поляции за пределы термодинамического описания была направлена на то, чтобы определить редкий и непред­сказуемый тип эволюции, описанием которого занима­ются биология и социальные науки. Как, например, со­вместить дарвиновскую эволюцию (статистический отбор редких событий) со статистическим исчезновением всех индивидуальных особенностей, всех редких событий, о котором говорит Больцман? Роже Кэллуа поставил вопрос так: «Могут ли и Карно и Дарвин быть правы?»²¹

Интересно отметить, насколько близок по существу дарвиновский подход к пути, избранному Болъцманом. Вполне возможно, что в данном случае речь идет не просто о внешнем сходстве. Известно, что Больцман с восхищением воспринял идеи Дарвина. По теории Дарвина, сначала происходят спонтанные флуктуации видов, после чего вступает в силу отбор и начинается необратимая биологическая эволюция. Как и у Больц­мана, случайность приводит к необратимости. Однако результат эволюции у Дарвина оказывается иным, чем у Больцмана. Интерпретация Больцмана влечет за со­бой забывание начальных условий, «разрушение» на­чальных структур, тогда как дарвиновская эволюция ассоциируется с самоорганизацией, с неуклонно возра­стающей сложностью.

Резюмируя сказанное, мы можем утверждать, что равновесная термодинамика была первым ответом фи­зики на проблему сложности природы. Этот ответ полу­чил свое выражение в терминах диссипации энергии,

забывания начальных условий и эволюции к хаосу. Клас­сической динамике, науке о вечных, обратимых траек­ториях были чужды проблемы, стоявшие перед XIX в., в которых главная роль отводились понятию эволюции. Равновесная термодинамика оказались в состоянии про­тивопоставить свое представление о времени представ­лениям других наук: с точки зрения термодинамики время означает деградацию и смерть. Как мы знаем, еще Дидро задавал вопрос: где именно вписываемся в инертный мир, подчиняющийся законам динамики, мы, организованные существа, наделенные способностью воспринимать ощущения? Существует и другой вопрос, над которым человечество билось более ста лет: какое значение имеет эволюция живых существ в мире, опи­сываемом термодинамикой и все более беспорядочном? Какова связь между термодинамическим временем, обра­щенным к равновесию, и временем, в котором происхо­дит эволюция ко все возрастающей сложности?

Был ли прав Бергсон? Верно ли, что время есть либо само по себе средство инновации, либо вообще ничто?