Накопление ошибок в линейно-угловых ходах

В линейно-угловом ходе (полигонометрическом или теодолитном) измеряются горизонтальные углы на пунктах хода и длины сторон между соседними пунктами хода. Рассмотрим наиболее простой вид линейно-углового хода – разомкнутый свободный (висячий) полигон (рис. 4.39).

Координаты пункта А – последней точки хода – вычисляются по формулам:

;

(4.2)

,

где х₁ и y₁ – координаты исходного пункта; l_s , β_i – измеренные значения длин сторон и левых углов хода; α₀ , α_s – дирекционные углы исходной и последующих сторон хода.

Рис. 4.39. Схема разомкнутого свободного полигона

Полные средние квадратические ошибки координат последней точки запишем в следующем виде:

;

(4.3)

,

где – составляющие полной ошибки координаты х точки А, обусловленные, соответственно, ошибками координаты х исходного пункта, ошибками линейных измерений, ошибками дирекционного угла исходной стороны и ошибками угловых измерений. Аналогичные обозначения приняты для .

Для вычисления составляющей дифференцируем выражение (4.2) по всем длинам l_s

.

Складывая произведения квадратов производных на квадраты средних квадратических ошибок линейных измерений, получим

, (4.4)

где – средняя квадратическая ошибка измерения длины стороны хода.

Частные производные выражения (4.2) по исходному дирекционному углу α₀ имеют вид:

Таким образом, влияние ошибки дирекционного угла исходной стороны хода оценивается формулой

, (4.5)

где – средняя квадратическая ошибка дирекционного угла исходной стороны.

Дифференцируем выражение (4.2) по всем углам β_i:

Складывая произведения квадратов производных на квадраты средних квадратических ошибок угловых измерений, получим

, (4.6)

где – средняя квадратическая ошибка измерения углов в ходе.

Формулы (4.3) – (4.6) применяются при анализе точности ходов любой формы. Обычно ошибками координат исходного пункта пренебрегают , угловые измерения считают равноточными , т. к. влиянием ошибок центрирования теодолита и сигналов на поверхности можно пренебречь, а ошибки линейных измерений представляют в относительном виде:

, (4.7)

где Т – знаменатель формулы относительных ошибок линейных измерений (показатель точности линейных измерений – чем больше знаменатель Т, тем точнее измерения).

При числе сторон хода n > 5 можно пренебречь ошибками исходного дирекционного угла. С учетом принятых допущений преобразуем формулы (4.3):

;

(4.8)

.

Теперь ошибку положения пункта А можно вычислить по формуле

(4.9)

где L_s – расстояния между точками хода и конечной точкой А (рис. 4.40).

Формула (4.9) описывает закон накопления ошибок в линейно-угловом ходе.

Рис. 4.40. Замыкающая изогнутого хода

Дальнейшие упрощения формулы (4.9) возможны при замене изогнутого хода на вытянутый равносторонний ход (рис. 4.41).

Рис. 4.41. Вытянутый равносторонний ход, проложенный

от твердой стороны

Для этого случая очевидно:

Перепишем формулу (9)

(4.10)

Заметим, что в подкоренном выражении первое слагаемое характеризует влияние ошибок линейных измерений на ошибку положения пункта, а второе слагаемое показывает вклад ошибок угловых измерений.

Формулу (4.10) можно еще упростить, если вынести из-под корня значение длины хода L = n l:

(4.11)

Из формул (4.9) – (4.11) можно заключить, что ошибка положения последней точки линейно-углового хода зависит от точности линейных и угловых измерений, длины и геометрии хода, количества сторон хода.

Предельная относительная линейная ошибка (невязка) хода определяется по формуле

где c_2,Р – квантиль двумерного нормального распределения при доверительной вероятности P.

В геодезической нормативной литературе при назначении допусков для невязок принята доверительная вероятность Р = 0,99. Вектор линейной невязки имеет двумерное нормальное распределение, поэтому c_{2; 0,99} = 3,03 ≈ 3 (табл. 9.2 в [4]), и допустимая невязка

. (4.12)

При проектировании линейно-угловых сетей применяется принцип равных относительных ошибок[26], в соответствии с которым относительные ошибки линейных измерений приравниваются средним квадратическим ошибкам угловых измерений, выраженным в радианной мере

. (4.13)

Например, для ходов полигонометрии 4-го класса точность линейных измерений должна быть не ниже

.

Необходимая точность линейных измерений для линейно-угловых ходов, рассчитанная по формуле (4.13), приведена в табл. 4.5.

Таблица 4.5