Оценка точности геодезических засечек

Для определения координат пунктов маркшейдерских съемочных сетей широкое применение нашли геодезические засечки – прямые и обратные угловые, линейные и линейно-угловые.

На точность определения положения определяемого пункта P влияет вид засечки, количество исходных пунктов и геометрия треугольников, образующихся между определяемым и исходными пунктами.

Средняя квадратическая ошибка положения пункта P определяется по формуле

(4.29)

где h₁ и h₂ – диагональные элементы обратной весовой матрицы координат определяемого пункта

Матрица N выглядит следующим образом

(4.30)

поэтому

где – определитель матрицы N.

Таким образом, подставляя в формулу (4.29) элементы матрицы N, получаем формулу определения средней квадратической ошибки положения пункта P в общем виде

(4.31)

где m – ошибка единицы веса.

При оценке точности пунктов маркшейдерских съемочных сетей за ошибку единицы веса в формуле (4.31) принимается средняя квадратическая ошибка измерения горизонтальных углов m_b = 20². В линейной засечке m = m_l и значения m_Pпринимаются в метрах, поэтому необходимо произвести переход от угловых величин к линейным, воспользовавшись отношением (4.13)

(4.32)

где m_l – средняя квадратическая ошибка линейных измерений, мм.

Подкоренное выражение формулы (4.31) зависит от вида и геометрии засечек.

Для вывода формул ошибки положения пункта P по каждой засечке приведем исходные данные к общему виду. При 3-х исходных пунктах засечки можно представить в виде двух треугольников (рис. 4.40).

Так как ошибка положения пункта не зависит от направления осей прямоугольной системы координат, направим ось х по линии 2-Р так, как это показано на рис. 4.47. Используем теорию параметрического уравнивания. Обозначим координаты пункта Р через параметры:

Х_Р = Т₁ ; Y_P = Т₂.

Рассмотрим сначала однократные засечки.

Рис. 4.47. Общая схема засечек

Прямая угловая засечка

При прямой угловой засечке измеряются углы β₁ и β₂ . Выразим эти углы через координаты исходных пунктов и параметры:

;

(4.33)

.

Дифференцируя выражения (4.33) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

Введем обозначения: – градиенты направлений [30]. Учтем, что: . Тогда для матрицы А получим:

Так как углы измерены равноточно, матрица весов Р – единичная, и элементы матрицы N вычислены по формулам:

По формуле (4.31) получим ошибку положения пункта

. (4.34)

Линейная засечка

При линейной засечке измеряются стороны l₁ и l₂ . Выразим их через координаты исходных пунктов и параметры:

;

(4.35)

.

Дифференцируя выражения (4.35) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

Матрица весов Р – не единичная, т. к. линейные измерения – неравноточные. Примем за ошибку единицы веса . Матрица весов измеренных длин

.

Элементы матрицы N вычисляем по формулам:

По формуле (4.31) получим ошибку положения пункта

. (4.36)

Если ошибки линейных измерений имеют вид

(4.37)

то ошибка положения пункта Р

. (4.38)