Значения коэффициента k для двукратных засечек

Из таблиц 4.13 и 4.14 можно заключить:

при равных условиях наиболее высокую точность обеспечивает обратная угловая засечка, уравненная по направлениям, а при γ < 55º – прямая угловая засечка;

ошибка положения пункта принимает наименьшее значение при следующих значениях угла γ – 122º и 128º (соответственно, прямая угловая и линейная засечки);

точность обратной угловой засечки с измеренными направлениями выше точности засечки с измеренными углами (при γ < 110º);

повышение точности двукратных засечек относительно точности однократных засечек происходит не просто в раз, а зависит от геометрии засечки.

Точность засечек прямо пропорционально зависит от точности угловых (и линейных) измерений m_b и от длины базисной стороны c. Это позволяет с помощью таблиц 4.12 и 4.14 выполнять оценку точности засечек при других условиях измерений. При этом значения коэффициента k будут пропорционально изменяться в зависимости от точности угловых измерений m_b.

Пример. Оценить ошибку положения пункта P, определяемого с помощью обратной угловой засечки по измеренным направлениям с 4-х исходных пунктов (двукратная засечка). Значения базисов c₁ = 0,2 км, c₂ = 0,4 км, c₃ = 0,6 км. Среднее значение горизонтального угла при исходных пунктах . СКО угловых измерений m_b = 5².

Значение коэффициента k = 0,046 (при m_b = 20²) определяется из таблицы 4.14 (для двукратных засечек) при b = 40°. Для заданных условий коэффициент k определяется из выражения

Тогда

Ответы, получаемые по формулам (табл. 4.11 и табл. 4.13), имеют некоторую погрешность, обусловленную тем, что вместо точных значений геометрических элементов принимались средние их значения, и расчет формул выполнялся по упрощенному принципу (b = b₁ = b₂ = b₃ = b₄, l = l₁ = l₂ = l₃).

Точность спутниковых геодезических

Технологий

Наряду с традиционными методами создания маркшейдерских опорных и съемочных сетей в последние десятилетия все более широкое применение на карьерах находят спутниковые геодезические технологии. В геодезическом смысле они реализуют принцип пространственной обратной линейной засечки – когда пространственные координаты (x, y, z) пункта наземной сети определяются по расстояниям, измеренным от этого пункта до четырех и более спутников, положение которых известно с достаточной точностью.

Основным достоинством спутниковых систем является их оперативность, всепогодность, оптимальная точность и эффективность. Для измерений не нужна видимость между определяемыми пунктами. Метод определения координат геодезических пунктов с помощью спутниковых систем называют позиционированием.

Анализ точности позиционирования начнем с простой схемы (рис. 4.49). Пусть определяются координаты X_P, Y_P, Z_P по измеренным расстояниям (дальностям) от определяемого пункта P до трех спутников – 1, 2 и 3.

Рассмотрим пирамиду 123Р, для которой примем два условия: основание пирамиды равносторонний треугольник 123, расположенный в горизонтальной плоскости, а ребра – l₁, l₂ , l₃ – равны между собой и наклонены к горизонту (как и к основанию пирамиды) под углом δ.

Центр системы координат поместим в точку Р, ось z направим по высоте пирамиды вверх к основанию, а ось х – через точку 1. В равностороннем треугольнике 123 точка О – место пересечения медиан – отстоит от вершин треугольника на расстояние R (радиус описанной окружности), а от сторон треугольника на расстояние R/2. Учитывая, что в равностороннем треугольнике медиана – и биссектриса, и высота треугольника – она делит внутренние углы треугольника (60º) пополам.

Рис. 4.49. Позиционирование от трех спутников

Запишем в принятой системе координаты вершин пирамиды:

Координаты				P
x	R
y
z	H	H	H

Обозначим координаты определяемого пункта Р через параметры:

Х_Р = Т₁ ; Y_P = Т₂ ; Z_P = T₃ .

Выразим измеренные величины через координаты исходных пунктов и параметры:

(4.55)

Дифференцируя выражения (4.55) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

Примем линейные измерения равноточными и матрицу весов Р – единичной, примем за ошибку единицы веса . Обратная весовая матрица координат определяемого пункта

.

Диагональные элементы матрицы Q_P используются для расчета ошибки положения пункта P:

в плане

в пространстве

по высоте

Элементы матрицы Q_P определяются только геометрией засечки. В теории анализа точности спутниковых геодезических измерений используется понятие геометрического фактора (ГФ) – отношение ошибки положения пункта к ошибке единицы веса [31]

ГФ

В зависимости от вида ошибки положения (в плане, по высоте или в пространстве) геометрический фактор имеет следующие обозначения:

(4.56)

Из формулы (56) следует связь

PDOP² = HDOP² + VDOP².

Для нашего примера: q₁₁ = q₂₂ = ; q₃₃ = В табл. 4.15 приведены значения геометрического фактора при различных углах возвышения спутников над горизонтом.

Таблица 4.15