Розв'яжіть диференційні рівняння другого порядку та побудуйте графіки

3. Розв'яжіть задачу Коші для диференційного рівняння 3 порядку

, ,

на проміжку [A, B], використовуючи метод Рунге-Кутта 4 з кроком h=0.1 і h=0.05. Побудувати графік розв'язку, з кроком h=0.05.

N	A	B
1.		1.5		2.5			-2	0.25	45.75
2.		1.5		2.0			-1.8	0.36	44.28
3.		1.5		2.5			-1.4	0.64	41.52
4.		2.0		1.5			-1.4	1.88	45.24
5.		1.5		3.0			-2.4	0.09	48.87	Sin(t)+ett
6.		1.0		3.5			-1	8.8	29.00	Sin(t)+cos(2t)+1
7.		1.5		2.8			-1.5	-1.25	53.375
8.		1.5	1.5	4.0			-4.6	3.94	34.28	Sin(3t)+4t-10
9.		1.5		2.5			-4.1	0.64	42.85
10.		1.5		3.1			-3.9	9.43	26.295	Sin(t)+4t-2
11.		1.5		2.5			-1	0.36	29.00	Sin(2t)-4t+1
12.		2.0		2.0			-1.5	0.64	53.375
13.		1.5		2.5			-4.6	1.88	34.28	Sin(t)-4t-1
14.		1.0		1.5			-4.1	0.09	42.85	Sin(3t)+t

Контрольні питання

1. Як можна переглянути функції (окрім вбудованої допомоги), що дозволяють розв'язувати диференційні рівняння?

2. Які функції Mathcad реалізують розв'язування диференційних рівнянь методом Рунге-Кутта?

3. Розв'язування рівнянь за допомогою функції rkfixed.

4. Розв'язування рівнянь за допомогою функції odesolve.

5. Як побудувати розв'язок?

6. Як розв'язувати системи диференційних рівнянь?

7. Які можливості надає Mathcad для аналітичного розв'язування диференційних рівнянь?

8. Зверніться до вбудованої допомоги і поясніть можливості Mathcad, щодо пошуку розв'язку диференційних рівнянь у комплексному вигляді.

Лабораторна робота № 35

Тема:Інтерполювання функцій.

Мета:Навчитися інтерполювати функції за допомогою лінійної та сплайн-інтерполяції.

Теоретичні відомості

Задачею інтерполяції є передбачення значень в проміжних точках таблично заданої функції. У системі Mathcad можна з'єднувати точки прямою лінією (лінійна інтерполяція), або відрізками кубічного полінома (кубічна сплайн-інтерполяція).

Нехай задано набір точок , які називають вузлами інтерполяції, причому серед цих точок немає співпадаючих, а також задано значення функції в цих точках. Потрібно побудувати функцію , яка проходить через усі задані вузли.

За функцію зазвичай вибирають поліном – інтерполяційний поліном. У тому випадку, коли поліном єдиний для всієї області інтерполяції, говорять, що інтерполяція глобальна. У тих випадках, коли між різними вузлами поліноми різні, говорять про кусочну або локальну інтерполяцію.

Знайшовши інтерполяційний поліном, ми можемо обчислити значення функції між вузлами (провестиінтерполяцію у вузькому змісті слова), а також визначити значення функції навіть за межами заданого інтервалу (провести екстраполяцію). Варто мати на увазі, що точність екстраполяції звичайно дуже невелика

Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція в Mathcad здійснюється за допомогою функції linterp.

linterp(vx,vy,x) -для заданих векторів

vx, vyвузлових точок і заданого аргументу х обчислює значення функції при її лінійній апроксимації.

Графічно це означає просте з'єднання вузлових точок відрізками прямих.
Приклад 1.

Нехай дані значення x,y: (1;7), (5;5), (3;0), (2;3), (6;2), (7;5). За допомогою лінійної інтерполяції знайти наближені значення y для х=1.5, 2.5,10.5

§ Введіть дані у вигляді матриці;     § Відсортуйте по зростанню перший стовпець, скориставшись функцією csort(A,n), де А – масив даних, n – стовпець, що сортується по зростанню   § Виділіть вектор vx – координати х, і вектор vy– координати y     § Обчисліть апроксимуючу пряму f_lin(x) § Знайдіть значення y для х=1.5, 2.5,10.5 § Побудуйте вузлові точки і графік функції f_lin(x) § Відформатируйте графік

Як видно з наведеного прикладу цей спосіб наближення має недолік: у точках "стику" двох сусідніх поліномів похідна, як правило, має розрив. Якщо вихідна функція була гладкою і потрібно, щоб і апроксимуюча функція була гладкою, то кусочно-поліноміальна інтерполяція неприйнятна. У цьому випадку застосовують сплайни - спеціальним образом побудовані гладкі кусочно-багаточленні функції.

Інтерполяція сплайнами

Нехай відрізок [a,b] розбитий точками на n відрізків . Сплайном ступеня m називається функція , яка має властивості:

1) функція неперервна на відрізку [a,b] разом зі своїми похідними до деякого порядку p.

2) на кожнім відрізку функцію можна виразити деяким поліномом ступеня m.

Різниця m-p між ступенем сплайна і найвищим порядком неперервної на відрізку [a,b] похідної називають дефектом сплайну. Кусочно-лінійна функція є сплайном першого ступеня з дефектом, рівним одиниці.

Кубічна сплайн-інтерполяція дозволяє провести через набір точок гладку криву так, щоб у цих точках були неперервні перша і друга похідні..

Інтерполяція здійснюється двома функціями (у два етапи). Спочатку обчислюється вектор других похідних у розглянутих точках за допомогою однієї з функцій cspline(vx,vy), pspline(vx,vy), lspline(vx,vy), потім обчислюється значення функції в точці x за допомогою функції interp(vs,vx,vy,x).

cspline(vx,vy) – обчислює значення vs других похідних при наближенні в опорних точках до кубічного полінома

pspline(vx,vy) –обчислює значення vs других похідних при наближенні в опорних точках до параболічної кривої

lspline(vx,vy) –обчислює значення vs других похідних при наближенні в опорних точках до прямої

interp(vs,vx,vy,x)– повертає значення y(x) для заданих векторів vs, vx, vy і заданого значення x.

Похибка наближення кубічними сплайнами.

Нехай функція f має на відрізку [a,b] неперервну похідну четвертого порядку і . Тоді для інтерполяційного кубічного сплайна справедлива оцінка похибки: .
Приклад 2.

Функція задана таблицею своїх значень.

Побудуйте спайн-функцію.

Дані візьміть з Excel файлу.

Попередньо створіть файл book1.xls, збережіть його

у форматі Excel 2.1 у своїй папці.

§ Виконайте команду: Insert®Component®File Read and Write, вибиріть тип файлу Excel і знайдіть його на диск § Аналогічно прикладу 1 відсортуйте дані, виділіть вектор vx – координати х, і вектор vy– координати y   § Знайдіть вектор других похідних для трьох типів кубічного сплайну   § Знайдіть функцію для трьох типів куб. сплайну     § Побудуйте вузлові точки і графіки функцій трьох типів   Результати інтерполяції різними типами кубічних сплайнів практично не відрізняються у внутрішніх точках інтервалу і збігаються з точними значеннями функції. Поблизу країв інтервалу відмінність стає більш помітна. А при екстраполяції за межі заданого інтервалу різні типи сплайнів дають істотно різні результати.

data

Завдання для самостійної роботи

1. Для таблично заданої функції побудувати лінійний і параболічний сплайни

N – номер варіанту

2. Функція f=y(x) задана таблицею своїх значень:

Запропонувати способи інтерполяції для знаходження значень функції в точках x=0.24, 0.5, 0.96.

3. Функція y=y(x) задана таблицею своїх значень:

	12*N	8*N	3*N	12*N	15*N

Визначити наближено значення x, при якому y(x)=9+N.

Контрольні питання

1. Поясніть різницю між глобальною і кусочно-поліноміальною інтерполяцією. Чому на практиці частіше використовується кусочно-поліноміальна інтерполяція?

2. Дайте визначення інтерполяційного сплайна m-ої ступеня.

3. Що таке дефект сплайна?

4. Запишіть формулу сплайна першого ступеня з дефектом одиниця.

Список літературних джерел
Основана література

1. Аладьев В.З. Автоматизированное рабочее место математика. Лаборатория базовых знаний, 2000.

2. Алексеев А. Информатика 2001. – М.: Сонол-Р. – С.309-338.

3. Д'яконов В. Mathcad 2001: учебный курс. – СПб.: Питер., 2002.

4. Очкьв В.Ф. Система Mathcad Plus 6.0 для студентов и инженеров. М.: Компьютер Пресс, 1996.

5. Симонович С. Информатика: Базовый курс. – СПб.: Питер, 2001. – С.502-530

Додаткова література:

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

8. Виртуальные курсы по математике http://euclid.math.fsu.edu/Science/math.html

9. Говорухин В, Цибулин В. – Компьютер в математическом исследовании.– Спб.: Питер, 2001.

10. Д'яконов В. Mathcad 8/2000: специальный справочник. – СПб.: Питер., 2002.– 592 с.

11. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики: Посіб. для самоосвіти вчителів. К., 1984. – 206 с.

12. Математическая энциклопедия. М.: БСЭ.

13. Мэтьюз Д. Численные методы. – М.: Вильямс, 2001

14. Сиговцев Г.С., Чарута М.А. Численные методы с системой Mathcad

15. www.exponenta.ru

16. www.wolfram.com