Корреляционный (когерентный) прием полностью известных сигналов. Правило решения. Структурная схема. Принцип работы

Основные соотношения теории вероятностей. Законы распределения. Плотность вероятности. Случайный процесс. Их определение, вероятностные характеристики. Числовые характеристики случайных процессов.

В реальных условиях при передаче сообщений сигнал в точке приёма заранее неизвестен и поэтому не может быть описан определённой функцией времени. То же самое можно сказать и о помехах, появление которых в канале может быть обусловлено самыми различными и чаще всего неизвестными для нас причинами. Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Случайный процесс описывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами. Для электрических сигналов аргументом обычно является время. При неизменных условиях опыта случайный процесс ξ(t) может принимать ту или иную конкретную форму ξ_k(t) (рис.1.2). Эти возможные формы случайного процесса называются его реализациями. Совокупность всех возможных реализаций {ξ_k(t)} случайного процесса ξ(t) называется ансамблем. Реализации ξ_k(t) уже являются не случайными, а детерминированными функциями.

Если рассматривать не каждую реализацию в отдельности, а совокупность их большого числа, то можно определить вероятностные характеристики случайного процесса. Такими характеристиками являются законы распределения, которые могут быть получены теоретически или на основе экспериментальных данных.

Наибольшими общими характеристиками случайных процессов явля­ются интегральный, дифференциальный законы распределения. Законы распределения делятся на одномерные и двумерные.

Одномерный интегральный закон распределения:

Плотность вероятности:

Наиболее полными характеристиками случайных процессов являют­ся его п - мерный интегральный и дифференциальный закон распределе­ний.

Пусть ξ(t) есть случайный процесс. В некоторый фиксированный момент времени t₁ различные реализации процесса будут иметь различные значения ξ₁(t₁), ξ₂(t₁),…, ξ_n(t₁) (рис.1.2). Значение ξ(t₁) является случайной величиной.

Одномерная функция распределения или интегральный закон распределения определяется как вероятность того, что случайная величина ξ(t₁) не превысит некоторого значения

Частная производная называется одномерной плотностью вероятности случайного процесса {ξ_k(t)} для t=t₁.

Двумерным интегральным законом распределения F₂(x₁, t₁; x₂, t₂) случайного процесса {ξ_k(t)} называется вероятность того, что в момент t₁ функция ξ(t) не превысит некоторого значения х₁, а в момент t₂ – значения х₂, т.е.

Двумерная плотность вероятности определяется как частная производная (если она существует) второго порядка

Наиболее полной характеристикой случайного процесса является n – мерный закон распределения, т.е. распределение значения ξ(t) для n произвольно выбранных моментов времени.

Эта функция называется n – мерным интегральным законом распределения, а частная производная

называется n – мерной плотностью вероятности.

Случайный процесс задан, если его n – мерное распределение известно для любого числа n произвольно выбранных моментов времени t₁, t₂,…, t_n.

Законы распределения являются достаточно полными характеристиками случайного процесса. Однако они сложны и требуют для своего определения обработки большого экспериментального материала. Кроме того, такое подробное описание процесса не всегда бывает необходимо. Для решения многих практических задач достаточно знать более простые (хотя и менее полные) характеристики случайного процесса. Такими характеристиками являются среднее значение и функция корреляции случайного процесса.

Числовые х-ки случайных процессов определяются по 2 видам:

1). По ансамблю случайного процесса;

2) по времени одной реализации процесса.

Числовые х-ки по ансамблю случайного процесса:

1. математическое ожидание случайного процесса

2. дисперсия случайного процесса

3. автокорреляционная ф-ция случайного процесса

4. взаимокорреляционная ф-ция случайного процесса.

Числовые х-ки, определяемые за время реализации одного процесса:

1. среднее значение реализации случайного процесса. Среднее значение определяет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются всевозможные реализации случайной функции.

2. дисперсия случайного процесса. Дисперсия является мерой разброса значений случайной функции около среднего значения.

3. автокорреляционная ф-ция σ =t1 – t2

4.взаимокорреляционная ф-ция

Стационарные и нестационарные случайные процессы. Эргодическое свойство стационарных случайных процессов. Энергетический спектр случайного процесса. Спектральная плотность мощности.

Все случайные процессы делятся на стационарные и нестационар­ные.

Под стационарным процессом в широком смысле понимают такой процесс, n мерный закон распределения которого на зависит от начала от­счета времени.

Стационарный случайный процесс в узком смысле - это такой про­цесс, математическое ожидание и дисперсия которого не зависит от начала отсчета времени. А функция корреляции Вхх (τ) также не зависит от от­дельных значений t1 и t2, а зависит от разности t2-t1=τ

Нестационарный процесс - такой процесс, в котором функция кор­реляции, дисперсия, математическое ожидание зависят от начала отсчета времени.

Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности.

Если числовые значения получены усреднением по ансамблю равным числовым характеристикам полученным усреднением по времени то такие процессы называются эргодическими.

среднее значение функции.

Т.е. σ²=D(Х) – это мощность (помехи) составляющей сигналы.

Для стационарных процессов в большинстве практически важных случаев справедлива эргодическая теорема, согласно которой усреднение по ансамблю можно заменить усреднением по времени, т.е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно считать:

Свойство эргодичности имеет большое практическое значение. Оно позволяет при исследовании статистических свойств процесса, рассматривать не множество его реализаций, а всего лишь одну реализацию достаточно большой продолжительности.

Важнейшей характеристикой эргодического процесса является его корреляционная функция. Скорость изменения процесса можно реализовать характеристикой через функцию автокорреляции. Эта функция характеризует степень статистической связи между значениями случайного процесса, отстоящих друг от друга на интервале времени τ. Интервалом корреляции называют тот min интервал времени который разделяет значения процесса статистически независимых друг от друга.

Основными свойствами корреляционной функции являются:

·-автокорреляционная функция. Скорость изменения процесса можно реализовать характеристикой через функцию автокорреляции.

, где - функция автокорреляции.

Автокорреляционная функция эргодического процесса является функцией чётной, т.е. B_x(τ)=B_x(-τ);

·-значение корреляционной функции эргодического процесса при τ=0 совпадает со средней мощностью этого процесса B_x(0)=x²(t)=σ²_x;

·-любое значение корреляционной функции не может превышать значения этой функции при τ=0, т.е. B_x(0)≥ B_x(τ);

-нормированная корреляционная функция не превосходит по модулю единицы ρ_х(τ)≤1;

-если автокорреляционная функция процесса удовлетворяет условиям:

, то это означает, что между значениями x(t) и x(t+τ) не существует связи. Такие процессы называют чисто случайными;

·если эргодический процесс не содержит детерминированной составляющей, то его корреляционная функция неограниченно убывает с увеличением τ, т.е. зависимость между значениями x(t) и x(t+τ) ослабевает и в пределе (при τ→∞) они становятся независимыми. Наличие постоянной составляющей в процессе x(t)=ξ(t)+x₀ приводит к тому, что

На рис. 1.3 приведена типичная кривая корреляционной функции эргодического процесса, иллюстрирующая перечисленные свойства этой функции.

Энергетически спектр – это мощность сигнала. Спектральной характеристикой случайного сигнала принято считать распределение его мощности по частоте G(ω).

При переходе к мощности не учитываем фазовый спектр, т.е. мощность не зависит от фазы, а зависит только от амплитуды. Ширина спектра зависит от скорости изменения сигнала.

Энергетический спектр случайного процесса:

Сигнал

Фазовый спектр

Амплитуда

Фаза

∆ω – ширина энергетического спектра

Спектральная плотность мощности определяется формулой Винера-Хинчина

Эти формулы связывают функцию корреляции с энергетическим спектром.

3. Связь спектральной плотности мощности с автокорреляционной функцией СП (теорема Винера - Хинчина). Случайный процесс «белый шум». Его автокорреляционная функция и энергетический спектр. Математическая модель нормально распределенного флуктуационного шума.

Согласно теореме Винера-Хинчина энергетический спектр стационарного случайного процесса связан с корреляционной ф-цией преобразованием Фурье:

Также эта теорема связывает спектральную плотность мощности и автокорреляционную ф-цию.

Тогда ширина энергетического спектра и корреляционный интервал определяются по формулам:

Перемножим эти два выражения и определим значения B(0) и G(0), используя формулы Винера-Хинчина.

В итоге получаем

«Белый шум», определяемый как случайный процесс, отвечающий бесконечно широкому равномерному энергетическому спектру, представляет собой абстракцию, физически нереализуемую.

Энергетический спектр «белого шума» определяется выражением:

А графически изображается так:

Найдем корреляционную ф-цию «белого шума», воспользовавшись теоремой Винера-Хинчина:

В результате получаем связь энергетического спектра и корреляционной ф-ции:

Флуктуационная помеха представляет собой стационарный процесс с нормальным распределением вероятностей (гауссов процесс).

Одномерная плотность вероятности гауссова процесса определяется выражением: ,

где ω – среднее значение процесса, σ² – его дисперсия. Для флуктуационной помехи положительные и отрицательные значения ω встречаются одинаково часто и поэтому ω=0. Дисперсия σ²_п в этом случае равна средней мощности помех Р_п, а эффективное значение помехи . Таким образом, плотность вероятности помехи приводится к виду ,

Соответственно интегральная функция распределения:

где u= ω/ σ_п – относительное значение помехи: .

Функция Ф(u) называется интегралом вероятности или функцией Крампа. Значения этой функции табулированы. Необходимо заметить, что функция Ф(u) является нечетной: Ф(-u)= -Ф(u), кроме этого Ф(∞)=1 и Ф(0)=0. На рис. изображены графики дифференциального и интегрального распределений Гауссова процесса.

Классификация помех. Потенциальная и реальная помехоустойчивость систем связи. Критерии оптимального приема дискретных сигналов. Оптимальный (идеальный) приемник Котельникова. Правило решения, структурная схема. Принцип работы.

Помехой - называется любое воздействие на полезный сигнал (или приемник), в результате которого ухудшается достоверность принимаемых сигналов. Помехи делятся на внешние и внутренние. К внешним помехам относятся: грозовые разряды, работа сварочного аппарата. электрический транспорт, радиоэлектронная медицинская аппаратура. К внутренним помехам относятся собственные шумы, шумы элементов устройства. Все эти помехи в зависимости от воздействия на полезный сигнал S(t), U(t) разделяют на две группы: 1. Аддитивная помеха - это помеха которая суммируется с полезным сигналом S(t) + W(t) = X(t) -аддитивная помеха. 2. Мультипликативная помеха X(t) = μ(t) • S(t), μ(t) - влияние помехи на уровень полезного сигнала. Аддитивная помеха может быть флуктуационной (Флуктуационная помеха представляет собой стационарный процесс с нормальным распределением вероятностей (гауссов процесс). , импульсной(помеха, сосредоточенная во времени), квазигармоническая (помеха, сосредоточенная по частоте).

Помехоустойчивостью называют – способность системы различать (восстанавливать) сигналы с заданной достоверностью при наличии помех.

Существуют потенциальная и реальная помехоустойчивость. Под потенциальной помехоустойчивостью понимают предельно достижимую помехоустойчивость при заданных сигналах и помехах. Эту помехоустойчивость обеспечивает специально сконструированный оптимальный (наилучший) приёмник. Потенциальная помехоустойчивость определяет то предельное качество, которое можно получить в заданной системе связи, но нельзя превысить никакими способами обработки сигнала при существующей помехе.

Реальная помехоустойчивость - это помехоустойчивость системы связи или отдельных её звеньев с учётом реального выполнения и настройки узлов канала электросвязи (передающего и приемного трактов, линий связи, модема).

Количественная мера помехоустойчивости. Для теоретических расчетов как потенциальной, так и реальной помехоустойчивости применяются прямые методы оценки качества. Прямой мерой качества дискретных сообщений является относительное количество ошибочно принятых знаков (символов) переданного сообщения, получившее название – коэффициент ошибок

где N_ош – число ошибочно принятых символов;

N – общее число переданных символов за время наблюдения.

Критерий оптимальности – признак, на основании которого производится оценка того или иного физического процесса как наилучшего. Выбор критерия оптимальности не является универсальным, он зависит от поставленной задачи и условий работы.

При передаче дискретных сигналов широко используется критерий идеального наблюдателя, впервые введённый В.А.Котельниковым в 1946 году. Часто этот критерий называют критерием Котельникова. Согласно ему тот приёмник считается оптимальным, который обеспечивает минимум полной вероятности ошибки. При передачи первичных сигналов u_i полная вероятность ошибки Р_ош вычисляется как математическое ожидание вероятности ошибки каждого из них Р_ош(u_i):

где Р(u_i) – вероятность передачи сигнала u_i; m – общее число первичных сигналов. Тогда критерий Котельникова (идеального наблюдателя) записывается в виде:

Сущность оптимального приёма состоит в том, что в приёмнике необходимо применить такую обработку смеси сигнала и помехи, чтобы обеспечить выполнение заданного критерия. Эта совокупность правил обработки в приёмнике носит название алгоритма оптимального приёма заданного сигнала на фоне помех.

На основании критериев Бейса и Неймана-Пирсона имеем:

Z(t) – смесь сигнала и помехи

S₁(t) и S₂(t) – передаваемые сигналы

W_s – энергия сигнала

Г – генератор; -- - вычитающее устройство; Кв – квантователь; И - интегратор; min – ус-во сравнения, К – ключ.

На вход вычитающего ус-ва поступают сигналы S1(t), S2(t+∆t), ... ,Sn(t+(n-1)∆t), к-рые подаются через квантователь на интегратор. Затем все сигналы анализируются в сравнивающем устройстве и, если они совпадают, то ключ К замыкается, и принятый сигнал поступает на декодер.

 

Корреляционный (когерентный) прием полностью известных сигналов. Правило решения. Структурная схема. Принцип работы.

Чтобы перейти от оптимального алгоритма работы демодулятора, работающего по правилу максимального правдоподобия к корреляционной записи воспользуемся:

 

 

 

 

- энергия сигнала

-

-

взаимно корреляционная функция между переданным и принятым сигналами. Для того, чтобы вычислить В_z,S используется устройство которое называется коррелятором.

На рисунке приведена схема корреляционного приёмника или корреляционного оптимального демодулятора.

В состав схемы входят вычитающее устройство; Х – Перемножитель; И – интегратор, РУ – решающее устройство.

---

12345678Следующая ⇒

---

Просмотров 1675

Эта страница нарушает авторские права

---