Математическое ожидание и дисперсия стационарных эргодических случайных процессов и их физический смысл

Случайный процесс описывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами.

Совокупность всех возможных реализаций {ξ_k(t)} случайного процесса ξ(t) называется ансамблем.

Если числовые значения получены усреднением по ансамблю равным числовым характеристикам полученным усреднением по времени то такие процессы называются эргодическими.

Полными характеристиками случайного процесса являются законы распределения. Для решения многих практических задач достаточно знать более простые (хотя и менее полные) характеристики случайного процесса. Такими характеристиками являются среднее значение и функция корреляции случайного процесса.

Среднее значение, или математическое ожидание, случайного процесса Х(t) определяется по формуле: ,где черта означает усреднение по множеству.

Среднее значение определяет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются всевозможные реализации случайной функции.

Аналогично определяется среднее значение квадрата

Дисперсия случайного процесса определяется как математическое ожидание квадрата отклонения процесса от своего среднего значения:

Дисперсия является мерой разброса значений случайной функции около среднего значения. При дисперсия совпадает с математическим ожиданием квадрата случайного процесса: .

Запишем дисперсию случайного процесса в виде:

Тогда при получим

Среднее значение и дисперсия характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени.

Частотная модуляция. Аналитические выражение ЧМ сигнала. Спектральная и временная диаграмма.

Изменение частоты высокочастотного несущего колебания по закону первичного низкочастотного полезного управляющего сигнала называется частотной модуляцией.

Пусть имеется гармонический высокочастотный сигнал:

Перепишем его в виде

(1)

Значит

При ЧМ частота ВЧ сигнала меняется по закону НЧ сигнала:

(2) где

К – коэффициент,S(t) –низкочастотный сигнал.

НЧ модулирующий сигнал имеет вид:

тогда с учетом этого (2) будет иметь вид:

или

где ∆W – девиация частоты, которая показывает максимальное изменение частоты отношения ∆W/Ω=Мч. Мч – это индекс модуляции.

Для определения полной фазы ЧМ сигнала возьмем интеграл по времени:

здесь φ0 – постоянная интегрирования или постоянная фазы, равная 0. Тогда (1) примет вид

Итак, аналитическое выражение ЧМ колебания имеет вид:

Приведем временные диаграммы НЧмодулирующего сигнала, ВЧ модулируемого сигнала и полученного в результате модуляции ЧМ сигнала.

Изобразим спектральную диаграмму, для этого используем следующее преобразование:

(3). Пусть индекс модуляции М_ч << 1. Тогда

Подставим эти значения в (3)

Для М >>1