Уравнение неразрывности или сплошности потока

При движении потока жидкости обычно происходят изменения не только скорости частиц, но и ее физических свойств – плотности, вязкости, которые в свою очередь будут зависеть от температуры и давления. При неустановившемся движении физические свойства изменяются не только в пространстве, но и во времени. Например, .

В бесконечно малый параллелепипед, объем которого dv = = dxdydz, за время τ вдоль оси х поступит через грань dydz количество массы жидкости, равное . За то же время из противоположной грани параллелепипеда на расстоянии x + dx выйдет количество жидкости, равное .

Изменение массы жидкости в объеме параллелепипеда в направлении оси х составит:

.

Аналогично по направлению осей y и z это изменение составит соответственно

и .

Согласно закону сохранения массы за время dτ суммарное изменение массы жидкости по всем трем направлениям в объеме параллелепипеда dv должно быть равно . В результате несложных математических преобразований получаем уравнение неразрывности:

(1.34)

Для установившегося потока dρ/dτ = 0 и уравнение неразрывности в дифференциальной форме приобретает вид:

. (1.35)

В потоке несжимаемой жидкости ρ = const и уравнение (1.35) упрощается:

. (1.36)

Для одномерного неустановившегося потока сжимаемой жидкости, направленного вдоль оси х и проходящего через сечение f, уравнение неразрывности можно представить в виде

(1.37)

Тогда для установившегося потока

либо (1.38)

Это значит, что в каждом сечении потока расход жидкости останется постоянным, т.е.:

(1.39)

Отсюда следует, что скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока.

Уравнение Бернулли

Воспользовавшись уравнением (1.32), можно найти связь между давлением, скоростью и плотностью жидкости в любом сечении установившегося потока жидкости.

Так как движение потока происходит под действием одной лишь силы тяжести, то Х = 0, Y = 0, a Z = –g. В этом случае уравнение (1.32) приобретает вид

либо

откуда

. (1.40)

Полученное уравнение (1.40) является уравнением Бернулли для установившегося потока идеальной жидкости. Каждое из слагаемых этого уравнения представляет собой удельную энергию жидкости в данном сечении потока:

– удельная энергия давления;

– удельная энергия положения;

– удельная кинетическая энергия.

Первые два слагаемых уравнения Бернулли выражают потенциальную энергию жидкости, а в сумме все три вида удельной энергии составляют полную удельную энергию потока жидкости в данном сечении.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении потока является величиной постоянной.

Кроме понятия удельной энергии, в гидравлике используется также понятие полного напора H, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести. В таком случае, можно записать:

, (1.41)

где – пьезометрический напор, уравновешивающий гидростатическое давление в данном сечении потока; – нивелирный или геометрический напор, определяющий высоту расположения данного сечения относительно плоскости отчета; – скоростной или динамический напор.

Таким образом, полный напор H слагается из статического Н_ст и динамического Н_дин напоров:

,

где ; .

При движении реальной жидкости часть энергии расходуется на преодоление сопротивлений на пути потока, поэтому полная удельная энергия потока в каждом последующем его сечении будет меньше, чем в предыдущем, а уравнение Бернулли с учетом этого можно будет записать:

, (1.42)

где – потерянный напор, учитывающий потерю энергии на участке потока между двумя рассматриваемыми сечениями.