Распределение скоростей по сечению трубопровода

При ламинарном движении жидкости в горизонтальной трубе, радиус которой R, а длинна l (рис. 1.8), весь поток можно представить состоящим из ряда соосных кольцевых слоёв, скорость которых возрастает от стенки трубы к её оси. Для выделенного внутри потока цилиндра радиуса r уравнение динамического равновесия будет иметь вид:

(1.44)

так как при установившемся течении сила давления на одно торцевое сечение потока уравновешивается силой давления на другое торцевое сечение и силой внутреннего трения (так как скорость w с увеличением радиуса r уменьшается, знак при силе трения меняется на положительный).

Рисунок 1.8 – К выводу уравнения ламинарного движения ньютоновских жидкостей

В результате интегрирования уравнения (1.44) и решения его относительно скорости, получим:

(1.45)

По оси трубопровода r = 0, следовательно

(1.46)

тогда

(1.46а)

Последнее уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Объёмный расход жидкости в рассматриваемом трубопроводе через элементарное кольцо радиусом r и толщиной dr (рис. 1.8)

. (1.47)

Выразив в последнем уравнении w_r через его значение из уравнения (1.45) и проинтегрировав уравнение (1.47), найдем V:

откуда

. (1.48)

Уравнение (1.48) носит название уравнения Гаген‑Пуазейля.

Если выразить объемный расход жидкости через площадь сечения потока и его среднюю скорость, то можно получить выражение для средней скорости ламинарного потока w:

либо . (1.49)

Сравнивая уравнение (1.49) с уравнением (1.46) приходим к выводу, что , то есть средняя скорость потока в трубе круглого сечения при ламинарном режиме движения равна половине максимальной скорости.

При турбулентном режиме движения наблюдается интенсивное непрерывное перемешивание частиц жидкости в результате их перемещения в направлении, перпендикулярном к основному направлению движения потока. При этом возникают мгновенные изменения величин и направлений скоростей движения отдельных частиц, называемые пульсацией скоростей.

На основании экспериментальных исследований и теоретических предположений принята следующая структура турбулентного потока. У стенок трубы существует тонкий слой жидкости толщиной d, движущийся по законам ламинарного потока и называемый вязким (ламинарным) подслоем. Центральная часть потока, называемая ядром, движется турбулентно с почти одинаковой для всех частиц скоростью. Между ядром и вязким подслоем находится относительно небольшая переходная зона.

В ламинарном подслое распределение скоростей можно считать линейным:

(1.51)

где r – расстояние от оси трубы (в направлении, перпендикулярном стенке); d_л – толщина ламинарного подслоя (порядка 1 мм).

В турбулентном ядре распределение осреднённых скоростей в пределах изменения значений критерия Рейнольдса от 10⁴ до 10⁵ хорошо описывается степенной зависимостью:

, (1.52)

где n зависит от величины критерия Рейнольдса и в данных пределах может быть принято (по экспериментальным данным) равным 7.

Приближенно принимают для турбулентного режима:

(1.53)

При этом большие значения соответствуют большему значению числа Рейнольдса.

Из изложенного выше следует, что при турбулентном режиме скорости распределены более равномерно по сечению потока по сравнению с распределением скоростей при ламинарном режиме.