Сопротивления в трубопроводах

Определение потерь напора или давления при движении жидкости по трубопроводу является важной практической задачей, связанной с расчётом энергии, необходимой для перемещения жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т.д.

Трудность решения этой задачи состоит в том, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальной жидкости, в большинстве случаев невозможно.

Потеря напора или давления в трубопроводе обусловлена наличием сопротивлений, которые должна преодолеть протекающая жидкость на своём пути. Эти сопротивления бывают двух видов:

сопротивления трения (линейные сопротивления), обусловленные взаимным трением частиц и трением жидкости о стенки трубопровода, h_тр;

местные сопротивления, возникающие при изменении направления движения жидкости или геометрической формы трубопровода, h_м .

Полная потеря напора h_пот является суммой двух слагаемых:

h_пот = h_тр + h_м. (1.54)

На конце трубопровода (в отверстии, через которое происходит истечение жидкости) статический напор равен нулю и общий гидродинамический напор согласно уравнению Бернулли(1.42), равен сумме скоростного и потерянного напоров, т.е.

(1.55)

Если потерянный напор выразить в долях от скоростного напора , то получим коэффициент сопротивления z_пот., равный в общем виде:

.

Тогда

(1.56)

Так как общее сопротивление движению жидкости в трубопроводе включает в себя сопротивления трения и , как правило, несколько местных сопротивлений, то уравнение (1.56) преобразовывается к виду:

. (1.57)

Сопротивление трения подчиняется различным законам в зависимости от того, в каком режиме движения находится поток.

В случае ламинарного режима при движении жидкости в трубе круглого сечения в соответствии с уравнением Гаген-Пуазейля (1.48):

,

откуда , (1.58)

(h_пот = h_тр; d, l – длина и диаметр трубопровода, соответственно).

Выразив вязкость жидкости m через критерий Рейнольдса и проведя несложные математические преобразования, получим:

либо – уравнение Дарси‑Вейсбаха, (1.59)

где l – коэффициент внешнего трения, равный в случае ламинарного режима 64/Re.

Для каналов некруглого сечения d = d_экв, т.е.

(1.60)

При ламинарном режиме движения, как следует из уравнения (1.59), коэффициент внешнего трения l зависит только от величины критерия Рейнольдса, а потеря напора пропорциональна скорости потока в первой степени.

При турбулентном режиме величина коэффициента l зависит не только от критерия Рейнольдса, но и от шероховатости стенок трубы, которую оценивают по степени шероховатости: . Здесь d_экв – эквивалентный диаметр трубопровода, а – средняя высота выступа шероховатости на внутренней поверхности трубы, м, т.е. абсолютная шероховатость.

Некоторые значения абсолютной шероховатости е приведены ниже:

Выражение для коэффициента трения при турбулентном режиме движения жидкости получить аналитическим путём невозможно из-за сложности структуры турбулентного потока. Поэтому расчётные уравнения для определения l получают обобщением результатов экспериментов. На (рис. 1.9) представлена графическая зависимость l = f(Re) в пределах Re = 10²÷10⁶ для гладких и шероховатых труб.

Для расчёта коэффициента трения при турбулентном режиме может быть использована формула Альтшуля:

(1.61)

Рисунок 1.9 – Зависимость l от критерия Re:
1 – гладкие и шероховатые трубы; 2 – гладкие трубы (медь, латунь, свинец, стекло); 3 – шероховатые
трубы (сталь, чугун)

В случае гладких труб l может быть рассчитан по уравнению Блазиуса (в пределах Re = 10⁴÷10⁵)

(1.62)

либо по уравнению Никурадзе (в пределах Re = 10⁵ – 3×10⁶)

. (1.63)

Местные сопротивления по конструктивному признаку подразделяют на следующие виды :

1) внезапное и плавное расширение и сужение трубопровода в местах изменения его сечения;

2) фасонные части, в которых происходит изменение направления движения жидкости (отводы, колена);

3) фасонные части, в которых происходит деление или слияние потоков (тройники, крестовины);

4) арматура различного назначения (вентили, краны, задвижки, диафрагмы).

Потери напора на преодоление местных сопротивлений

, (1.64)

где z_м – коэффициент местного сопротивления.

Если на трубопроводе имеется ряд местных сопротивлений, то для участка трубопровода с постоянным расходом общие потери энергии на преодоление местных сопротивлений находят простым суммированием отдельных видов местных потерь, т.е.

. (1.65)

Величина z_м зависит как от вида местного сопротивления_, так и от режима движения жидкости, т.е. от числа Рейнольдса. Для различных местных сопротивлений значения z_м приводятся в справочниках.

Обычно при движении жидкости наблюдаются потери напора на трение по длине трубопровода и на преодоление местных сопротивлений. Поэтому полную потерю напора определяют как сумму всех потерь:

. (1.66)

Местные сопротивления иногда выражают через участок прямого трубопровода длиной l_экв, в котором потеря напора равна местным сопротивлениям. В этом случае для расчёта общего сопротивления трубопровода за его длину принимают l_п = l + l_экв., т.е. приведенную длину:

. (1.67)

Гидродинамическое подобие

Для получения конкретных расчетных зависимостей в гидравлике большое значение имеет эксперимент, проводимый на моделях различного масштаба. Обобщение результатов исследований производят методами теории подобия, которые позволяют установить общие условия подобия явлений, что дает возможность использовать полученные на моделях результаты в разных условиях их практического применения.

В соответствии с теорией подобия у подобных потоков должно существовать подобие геометрических размеров, полей физических величин и свойств системы на ее границах.

При геометрическом подобии должно быть постоянным отношение любых соответственных линейных размеров для рассматриваемых потоков. Следовательно, если для одного потока какой-то линейный размер (например, диаметр трубы) будет l_l, а для второго потока соответствующий размер l₂ , то их отношение l_l/l₂ = K_l должно быть таким же и для других линейных размеров. Для площадей будет выполняться соотношение , а для объемов .

Физическое подобие подразумевает пропорциональность различных характеристик в соответственных точках рассматриваемых потоков (например, скоростей, давлений и т. п). Так, если скорости в соответствующих точках обоих потоков будут w₁ и w₂ соответственно, то , т.е. масштаб скоростей . Аналогично масштаб ускорений .

Если в рассматриваемом процессе свойства системы изменяются во времени, то масштаб времени указывает на то, что частицы жидкости в рассматриваемых потоках проходят геометрически подобные траектории за промежутки времени, находящиеся в постоянных соотношениях.

Подобие геометрических и физических параметров является необходимым, но недостаточным условием адекватности потоков. Необходимо еще подобие действующих сил (инерции, давления, трения и т.д.).

Обозначив действующие в соответствующих потоках силы через Р₁ и Р₂, получим:

;

,

откуда

(1.73)

Последнее уравнение выражает условие динамического подобия. Безразмерные соотношения разнородных физических величин называют критериями подобия.

Если в движущихся потоках жидкости превалируют силы вязкости, то из уравнения (1.73) можно получить следующее соотношение

либо . (1.74)

Полученный критерий является критерием Рейнольдса. Следовательно, в случае значительного влияния вязкости жидкости на течение потока условие динамического подобия сводится к обеспечению постоянной величины критерия Рейнольдса в сходственных точках системы.

Если движение жидкости обусловлено действием в основном силы тяжести, то в этом случае , и уравнение (1.73) примет вид или, после упрощений,

(1.75)

Это выражение носит название закона подобия Фруда, а безразмерная величина называется критерием Фруда.

При решающем значении сил поверхностного натяжения , выражение динамического подобия принимает вид

, или . (1.76)

Безразмерная величина носит название критерия Вебера.

Если основное влияние оказывают силы давления, , то

, или . (1.77)

Полученный критерий называют критерием Эйлера.

Критерии гидродинамического подобия могут быть получены из дифференциальных уравнений Навье-Стокса путем деления всех действующих сил на силы инерции.

Для двух подобных потоков, движущихся вдоль оси х :

;

.

Произведя соответствующие замены для некоторых величин (x = l, t = l /w, X = g), вычеркнув знаки операторов, получим:

при отношении сил давления к силам инерции:

;

при отношении сил тяжести к силам инерции:

;

при отношении сил вязкости к силам инерции:

.

Равенство полученных критериев для рассматриваемых потоков является необходимым и достаточным условием их гидродинамического подобия.

Таким образом, функциональная зависимость между отдельными физическими величинами, входящими в уравнение Навье – Стокса, может быть выражена в виде зависимости между критериями подобия:

. (1.78)

Явный вид полученной функциональной зависимости между критериями определяется опытным путем. Обычно эта функциональная зависимость представляется в виде графика или в виде степенных функций. При постановке опыта можно изменять не все физические величины в отдельности, а критерии подобия.

Влияние каждого из критериев Re и Fr на течение потока может быть различно. При установившемся потоке в зависимости от того, какая сила является превалирующей, ограничиваются зависимостью либо .

В случае неустановившихся потоков жидкости для установления их подобия пользуются критерием гомохронности:

. (1.79)

При изучении процессов, не описываемых даже дифференциальными уравнениями, используют другие, менее надежные методы вывода критериев подобия (метод анализа размерностей, например).

Кроме указанных критериев гидродинамического подобия, используют также производные критерии, которые получают путем сочетания нескольких. Так, например, путем сочетания Re и Fr получают критерий Галилея (Ga), выражающий соотношение сил трения и тяжести:

. (1.80)

Критерием Галилея удобно пользоваться в тех случаях, когда непосредственное измерение скорости в движущейся жидкости невозможно. При естественной конвекции, когда движение происходит в результате разности плотностей жидкости в двух различных точках потока, используют критерий Архимеда (Ar):

. (1.81)

Обычно одновременное равенство различных критериев подобия в изучаемых потоках невозможно, и потому при моделировании учитывают лишь те критерии, которые отражают влияние основных сил, действующих в потоке. Так, при перекачивании жидкости насосом по трубопроводу влияние силы тяжести можно не учитывать и исключить поэтому из рассмотрения критерий Фруда. Общий вид зависимости при вынужденном движении жидкости по трубопроводу в этом случае имеет вид:

, (1.82)

где l – длина рассматриваемого участка трубопровода; d – диаметр трубопровода; коэффициент С и показатели степени а и b определяют в результате обработки данных эксперимента.