Практическое использование законов гидростатики

Применив закон Паскаля к сообщающимся сосудам, можно прийти к следующим выводам.

Если сосуды (рис. 1.4 а) заполнены однородной жидкостью (одинаковой плотности), то при равновесии давление в точке 0 может быть выражено:

либо ,

т.е. в сообщающихся сосудах заполняющая их однородная жидкость располагается на одинаковом уровне.

При заполнении сосудов жидкостями с различной плотностью (рис 1.4 б) в условиях равновесия давление в точке О будет

либо .

Рисунок 1.4 – Сообщающиеся сосуды, заполненные жидкостью:
а – одной плотности; б – разной плотности

Следовательно , т.е.

. (1.12)

Соотношение (1.12) указывает на то, что высоты уровней жидкости, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

Этот принцип используется для измерения уровня жидкости в закрытых аппаратах с помощью водомерных стёкол, в жидкостных манометрах.

Если сообщающиеся сосуды заполнены одной и той же жидкостью, но давление над уровнем жидкости в них разное – р₁ и р₂, то при равновесии

,

,

откуда

. (1.13)

Последнее выражение используется при измерении давления или разности давлений между различными точками с помощью дифференциальных U-образных манометров.

Рисунок 1.5. – К определению высоты гидравлического затвора

Этот же принцип используется для определения высоты гидравлического затвора в аппаратах, заполненных жидкостью (рис. 1.5).

На рисунке представлен сосуд, заполненный двумя жидкостями с плотностями r₁ и r₂; уровень их раздела на глубине z₁ необходимо поддерживать в процессе работы постоянным с помощью гидрозатвора, представляющего собой U-образную трубку, подсоединённую снизу (на выходе жидкости из аппарата).

В соответствии с уравнением (1.12) высота гидравлического затвора в случае одинакового давления над жидкостью внутри аппарата и на выходе из затвора

. (1.14)

На использовании данного уравнения гидростатики основана работа таких простейших гидравлических машин, как гидравлический пресс, мультипликатор (для повышения давления), домкрат, подъемник и др.

Рисунок 1.6 – Схема гидравлического пресса

На рис. 1.6 показана схема гидравлического пресса. Если к поршню П₁, имеюшему площадь F₁, приложена сила Р₁, то эта сила будет передаваться на жидкость; жидкость же будет давить на поршень П₂, имеющий площадь F₂, с силой Р₂

(1.15)

так как гидростатические давления в точках площади F₁ и площади F₂ практически равны между собой:

(1.16)

Из уравнения (1.16) следует, что при помощи пресса сила Р₁ увеличивается во столько раз, во сколько площадь F₂ больше площади F₁.

Элементы гидродинамики

Основной задачей гидродинамики является установление закономерностей, определяющих движение потока жидкости, а также его отдельных частиц.

При рассмотрении движения жидкости различают внешнюю и внутреннюю задачи. В первом случае задан поток, требуется найти гидродинамические характеристики потока. К числу гидродинамических характеристик потока относятся скорость и гидродинамическое давление.

В случае идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет тот же смысл и обладает теми же свойствами, что и гидростатическое давление р. Гидростатическое давление вязкой жидкости зависит от пространственной ориентации площадки, на которую она действует, поэтому при анализе движения в этом случае используют среднеарифметическое значение:

. (1.17)

Помимо сил, действующих на покоящуюся жидкость, в гидродинамике появляются дополнительно силы инерции и трения. Последние являются причиной неравенства скоростей w в различных точках одного и того же поперечного сечения потока. Кроме того, для одной и той же точки пространства р и w могут изменяться и во времени τ.

Указанные причины приводят к сложным функциональным зависимостям:

(1.18)

, (1.19)

где w_x, w_y, w_z – проекции скорости w на оси координат.

Основные понятия и определения

Различают следующие виды движения жидкости: установившееся и неустановившееся, равномерное и неравномерное, напорное и ненапорное.

Если в любой точке движущегося потока жидкости все факторы, влияющие на его движение (скорость, давление, температура, плотность и др.) не изменяются с течением времени, то движение потока называют установившимся. При неустановившемся движении указанные факторы с течением времени изменяются.

Установившиеся условия движения жидкости характерны для непрерывных технологических процессов, неустановившиеся – для периодических либо возникают кратковременно при пусках, остановках, а также изменениях режима работы аппаратов непрерывного действия.

Для каждой частицы движущейся жидкости изменение её параметров во времении в пространстве выражается полной производной по времени, называемой субстанциональной производной. Иначе субстанциональная производная характеризует изменение какого-либо параметра u или свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве. Изменение u за единицу времени в фиксированной точке пространства (x, y, z) = const выражается частной производной , а изменение u в данной точке за бесконечно малый промежуток времени составит . Эта величина является местным, или локальным, изменением данной переменной. При переходе частицы из одной точки в другую значение u меняется на величину , которая характеризует конвективное изменение параметра u.

При установившемся движении жидкости локальная составляющая отсутствует, и субстанциональная производная принимает вид:

, (1.20)

так как

то в итоге

. (1.21)

Для неустановившегося движения полное изменение u является суммой локального и конвективного изменения:

. (1.22)

Видами установившегося движения жидкости являются равномерное и неравномерное движение потока.

Под равномерным понимают такое движение, когда поток жидкости по всей его длине имеет одинаковые живые сечения и скорости в соответствующих точках этих сечений. Примером равномерного движения служит движение жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения. При отсутствии хотя бы одного из указанных условий движение будет неравномерным. Такое движение может быть в конически сходящейся или расходящейся трубе или в расширяющемся (сужающемся) канале.

Безнапорным называется такое движение, когда жидкость имеет свободную, т.е. открытую и находящуюся обычно под атмосферным давлением, поверхность. При отсутствии такой поверхности движение называют напорным. Примером безнапорного движения является движение воды в реке или канале, а также трубе, сечение которой не полностью заполнено жидкостью. При напорном движении сечение трубы полностью заполняется жидкостью.

Для характеристики движения потока жидкости введено понятие площади живого сечения, под которой понимают площадь сечения потока, перпендикулярную направлению движения.

К элементом живого сечения потока относятся площадь F, смоченный периметр П, гидравлический радиус R_г.

Площадь живого сечения F потоков может быть различной геометрической формы. Живое сечение может ограничиваться твердыми стенками полностью или частично, когда часть его соприкасается со свободной поверхностью жидкости.

Смоченный периметр П представляет собой сумму линейных размеров той части периметра поперечного сечения канала (трубы), которая смачивается жидкостью.

Гидравлический радиус R_г – отношение площади живого сечения к смоченному периметру

. (1.23)

Для жидкости, заключенной в круглую трубу:

(d – диаметр трубы; r – радиус трубы).

Следовательно, для круглого сечения потока гидравлический радиус численно равен половине геометрического радиуса окружности трубы или четверти его диаметра. При одинаковых площадях живого сечения круглая форма в сравнении с другими имеет наименьший периметр.

Гидравлический радиус является одним из важнейших понятий гидравлики. Вместо гидравлического радиуса в гидравлике иногда пользуются понятием гидравлического или эквивалентного диаметра d_экв, который представляет собой условный диаметр живого сечения потока любой геометрической формы, находящегося в гидравлически равных условиях с круглым сечением диаметром d:

. (1.24)

Количество жидкости, протекающее через живое сечение в единицу времени, носит название расхода жидкости. Количество жидкости может быть выражено в массовых или объемных единицах:

– массовый расход жидкости; (1.25)

– объемный расход жидкости. (1.26)

В уравнениях (1.25) и (1.26) w – средняя скорость потока w_ср в данном живом сечении, т.е. скорость, с которой должны были двигаться все частицы жидкости через рассматриваемое плоское сечение площадью F, чтобы расход всего потока был равен расходу, соответствующему действительным скоростям этих частиц:

. (1.27)

Существуют два принципиально различных режима движения вязкой жидкости: ламинарный и турбулентный.

Ламинарный режим течения наблюдается при малых скоростях движения или большой вязкости жидкости. При этом частицы жидкости движутся в одном направлении параллельно друг другу, не перемешиваясь. По сечению трубопровода скорости частиц изменяются по параболическому закону (рис. 1.7, а). У стенки трубы скорость равна нулю, по оси – максимальная.

Турбулентный режим наблюдается при больших скоростях. Частицы жидкости при этом движутся беспорядочно по пересекающимся направлениям. В каждой точке потока происходят пульсации скорости относительно некоторой средней величины. Профиль распределения скоростей – более плоский по сравнению с ламинарным режимом (рис. 1.7, б).

Рисунок 1.7. – Распределение скоростей при ламинарном (а) и турбулентном (б) движении жидкости в трубе

Режим движения жидкости характеризуется безразмерным числом Рейнольдса Re, которое для трубы любого сечения равно

, (1.28)

где R_г – гидравлический радиус; w – средняя скорость движения жидкости; n - кинематический коэффициент вязкости; d_экв – эквивалентный диаметр.

Для трубы круглого сечения

(1.29)

(d – диаметр трубопровода; r и m –плотность и динамический коэффициент вязкости жидкости, соответственно).

Граница между ламинарным и турбулентным режимами движения жидкости определяется критическим числом Рейнольдса Re_кр. При Re < Re_кр движение ламинарное, а при Re > Re_кр – турбулентное. Значения Re_кр могут колебаться в довольно широких пределах в зависимости от многих факторов: условий входа в трубу, шероховатости стенок трубы, рода и температуры жидкости и других условий. Причем Re при переходе от ламинарного к турбулентному движению больше, чем при обратном переходе. Опытным путем было установлено, что смена режимов течения жидкости в цилиндрических трубах круглого сечения происходит при Re_кр = 2300. Турбулентное движение становится вполне устойчивым только при Re ≥ 10000. При 2300 < Re < 10000 движение неустойчиво и оба вида движения могут проявляться совместно и легко переходить один в другой.