Лемма Лоренца (запись в дифференциальной и интегральной формах). Теорема взаимности (получение из леммы Лоренца). Следствия, вытекающие из теоремы взаимности

Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами

Равенство (5.44) называют леммой Лоренца.

На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности,. Предположим, что источники первой группы сосредоточены в конечном объеме V₁ а источники второй группы -в конечном объеме V₂. Области Vi и V₂ пространственно разделены (не пересекаются

друг с другом).

Интегрируя равенство (5.44) по произвольной области V, включающей в себя V₁ и V₂ (рис. 5.31), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение (5.45) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (5.45) на все прост­ранство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общностисти рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов Ё₁Н₁, Ё₂ и Н₂ убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем 1/r . Тогда при r→∞ левая часть уравнения (5.45) обратится в нуль. Кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токов отличен от нуля только в объеме V_b а вектор -только в объеме V₂, получаем

В полученном выражении Ё₁, - вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объема V₂ токами распределенными в объеме V₁ a E₂- напряженность электрического поля, создаваемого в точках объема V₁ токами, протекающими в объеме V₂.

Соотношение (5.46) является одной из формулировок теоремы взаимности.

Переход от сферической волны к плоской. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде (напряженность электрического поля плоской волны, действительная и мнимая части, параметра , их физический смысл).

Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое ЭЭВ в дальней зоне в безграничной однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы ЕиН требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с рас­стоянием до источника (r₀). Введем дёкартову систему координат х, у, z, ось Z которой проведена .вдоль радиуса-вектора, соеди­няющего середину вибратора Q с точкой О, принятой за начало координат (рис.6.1). В пределах области V можно пренебречь из­менением амплитуд векторов Ё_т и Н_т -и, кроме того, считать, что их фазы зависят только от координаты z, т.е. считать, что sin θ/r= = const, a exp(-ikr)=exp[-ik(r_o+z)]. Вводя обозначение (2λr₀) =E₀ перепишем формулы (5.20) в виде

В (6.1) учтено, что векторы Ё_т и Н_т перпендикулярны друг другу и направ­лению распростране­ния волны (оси Z). Ориентация векторов Ё_т и Н_т относитель­но осей X и У зависит от ориентации вибра­тора, создающего по­ле. В общем случае эти векторы могут иметь как х-ю, так и у-ю составляющие, связанные соотношениями

Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяют­ся уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, пер­пендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким обра­зом, сферическую волну, создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну.

Очевидно, аналогичный результат получится и в тех случаях, когда источником поля являются элементарный магнитный вибра­тор, элемент Гюйгенса, система таких излучателей и др. При этом в общем случае между составляющими вектора Ё_о по осям X и У может иметь место фазовый сдвиг.

Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

Исследуем основные свойства плоской волны, распростра­няющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источни­ки, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы Ё_т и Н_т удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца (2.33) и (2.34) соответственно. Предпо­ложим, что поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения (2.33) и (2.34) принимают вид

Рассматривая таким же образом фазу напряженности элек­трического поля волны 2), придем к равенству ω∆t=-β∆z. В этом случае положительным ∆t соответствуют отрицательные значения ∆z, то есть волна 2) распространяется противоположно оси Z.

Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений z (рис. 6.1). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматри­ваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси Z. По­этому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбо­ром вида множителя exp(-i kz) следует положить

В среде без потерь и формулы (6.13) переходят в (6.1).

При изменении удельной проводимости от нуля до беско­нечности угол ψ_сувеличивается от нуля до π/4, а модуль Z_c убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной, величины характеристического сопро­тивления, т.е. к увеличению | Н | при заданном значении | Е |. Это обусловлено тем, что величина Нопределяется как током про­водимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е и ε токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим снача­ла случай, когда вектор. Ё_m имеет лишь одну составляющую, например, Ё_хт. Тогда вектор Н_т также будет иметь одну сос­тавляющую, перпендикулярную Е_т (в рассматриваемом примере Н_ут). Считая вектор Ё_о вещественным (Ё₀=х₀Е₀) и переходя к мгновенным значениям векторов Е и Н из (6:13) получаем

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.

Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ё_т и Н_т) векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор Ё_о имеет одну составляющую (например, Ё_о =х_оE_о), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значе­ний векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз определяются уравнением z = const и представляют собой се­мейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векто­ров Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z. Постоянную а называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь α= 0 и

амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При σ≠0 поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При

σ≠0 между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Нопаздывает по фазе относительно вектора Е на угол В среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При изменении а от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до π/4. На рис. 6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных значений векторов Е и Н от времени tв некоторой фиксированной точке пространства (z = z₀) в среде с σ≠0 (см. рис. 6.2) и в среде без потерь (см. рис.6.3). На рис.6.4 и 6.5 показаны зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент

времени t=t₀ для случаев σ≠0 (см.рис.6.4) и σ =0 (см. рис. 6.5).

Фазовая скорость v_ф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны (см.5.3). Используя формулу (6.13), рассмотрим перемещение ∆z ПРФ за время ∆t. В результате придем к равенству из которого следует, что при σ≠0

В среде без потерь т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами ε и μ. Так как то v_ф в среде с потерями меньше у_ф в среде без потерь с теми же ε и μ.

Параметр β, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно из (6.16), при σ≠0 фазовая скорость зависит от частоты (tg δ =σ/(ωε)): с увеличением пос­ледней она возрастает. Предельное значение v_фпри ω→∞ равно

Кроме того, величина v_ф зависит от проводимости сре­ды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же ε и μ. Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны λ убывает с увеличением σ; при σ = О длина волны

Распространение волны сопровождается переносом энергии. При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:

При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с σ≠0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью j = σЕ, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плос­кую волну, которая складывается с первичной, происходит непре­рывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скороcть распространения энергии вычисляется по формуле (1.162) и равна фазовой скорости:

Как видно, при σ≠0 скорость распространения энергии за­висит от частоты. В среде без потерь одинакова при любой частоте.

Характеристическое сопротивление волны Z_c при σ≠0 также

зависит от частоты. Модуль Z_c возрастает с увеличением f. Его

предельное значение при f→∞ совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же ε и μ, т.е. равно Аргумент характеристического сопротивления ψ_с изменяется от π/4 (при f→0 ) до нуля (при f→∞).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, рас­пространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (v_ф, v₃, a, Z_c и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при σ = 0, если характеризующие ее параметры е и ц зависят от частоты.

В общем случае вектор Ё_т имеет две составляющие Ё_хт и Ё_ут, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор Н_т также будет иметь две составляющие Н_хт и Н_ут. Если сос­тавляющие вектора E по осям X и Y (Е_х и E_у) изменяются синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор Ё_т имеет одну составляющую. При наличии между составляющими Ё_хт и Ё_ут фазового сдвига, не равного n_π, где п - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при f→0 мгновенные значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными (см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.

Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики и проводники.

22. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде (волновое сопротивление, форма незатухающей и затухающей плоской волны, комплексный вектор Пойнтинга). Плоские волны в проводниках. Глубина проникновения.

Волны в диэлектриках

В диэлектриках tgδ<<1, поэтому можно приближенно поло­жить Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (6.7), получаем

Из полученных результатов следует, что параметры волны (β,λ,v_ф,v_э,Z_c), распространяющейся в реальном диэлектрике, ма­ло отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же ε и μ. Коэффициент ослабления α является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свой­ства проявляются незначительно.

6.1.4. Волны в проводниках

В проводниках (например, в металлах) tg 5>> 1. Поэтому в выражениях для α и β можно пренебречь единицей по сравнению с tg 5. В результате получим

6.1.5. Затухание волн

Коэффициент ослабления α волны, распространяющейся в проводнике, большая величина. Поэтому амплитуды векторов поля резко уменьшаются вдоль направления распространения: вол­на быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электри­ческого поля в точке с координатой z равна Е_т (z), а амплитуда в точке с координатой z + l равна E_m(z + I). Отношение

E_m(z)/E_m(z +l )= ехр(αl) (6.30)

показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении ею расстояния l.

Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). За­тухание в неперах определяют как натуральный логарифм отно­шения (6.30) In [E_m (z)IE_m (z + l)]= αl Затухание в децибелах оп­ределяют как двадцать десятичных логарифмов того же отноше­ния: Коэффициент α, таким образом, определяет затухание волны при прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр (Нп/м).

Вычислим затухание волны, распространяющейся в меди, при частоте в 1 Мгц. Коэффициент ослабления Это означает, например,

что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в е^14,8 раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Приведенный пример показывает, что переменное электро­магнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

6.1.6. Глубина проникновения

Расстояние ∆°, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля в среду. На расстоянии ∆° ослабление составляет 1 Нп, т.е. α∆° = 1 и, следовательно,

Как видно из формулы (6.32), глубина проникновения зависит от частоты: чем больше частота, тем меньше ∆°.

23. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред (преломление, отражение волн, законы Снеллиуса, коэффициенты отражения и прохождения световой волны).

Пусть линейно поляризованная плоская электромагнитная волна падает на плоскую бесконечно протяженную границу раз­дела двух однородных изотропных сред, характеризуемых пара­метрами соответственно. Введем прямоугольную сис­тему координат х, у, zтак, чтобы плоскость YOZсовпадала с по­верхностью раздела, а плоскость падения - с плоскостью XOZ. Угол φ между направлением распространения волны и нормалью к поверхности раздела будем называть углом падения (рис. 7.2).

В выбранной системе координат направляющие косинусы, оп­ределяющие направление распространения волны,

Отметим, что постоянная Ё_о равна значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля в начале координат (при x = z=0). Соответственно векторная постоянная Ё_о = у₀Ё_оравна значению комплексной амплитуды вектора Е в начале координат.

Из физических соображений очевидно, что падающая волна может частично (или полностью) отразиться от границы раздела (х = 0) и частично (или полностью) пройти во вторую среду. Естественно предположить, что отраженная и преломленная вол­ны будут плоскими.

Если, исходя из этого предположения, удастся найти поле, удовлетворяющее граничным условиям

где - касательные составляющие векторов Ё и Н в первой и во второй средах соответственно, то это поле будет решением рассматриваемой задачи.

Граничные условия (7.7) должны выполняться на всей плоскости х = 0, т.е. при любых значениях переменных у и z. Так как поле падающей волны (7.6) не зависит от переменной у, то необходимо предположить, что поле отраженной и преломленной волн также не зависит от координаты у. Это означает, что векторы, определяющие направление распространения отраженной и пре­ломленной волн, параллельны плоскости XOZ. Можно также пред­положить, что отраженная и преломленная волны являются нормально поляризованными (рис.7.3). С учетом сделанных пред­положений выражения для векторов поля отраженной волны могут быть получены из формул (7.6), если в пос­ледних заменить -угол между осью Xи направлением распространения отраженной волны (см. рис.7.2 и 7.3), a - некоторая, пока неизвестная постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й состав­ляющей напряженности электрического поля отраженной волны. Обычно вместо угла φ' рассматривают угол φ₁=π-φ’, называемый

углом отражения. Так как При этом

характеристическое сопротивление волны во второй среде, а -некоторая, постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля прелом­ленной волны. Ориентация векторов Ё_т и Н_т падающей, отра­женной и преломленной волн показана на рис.7.3. Углы φ₁и θ так же, как и постоянные подлежат определению.

Граничные условия (7.7) должны выполняться при всех значениях координаты г. Это возможно только, в том случае, если зависимость векторов Ё и Н от переменной z во всех трех волнах будет одинаковой. Поэтому необходимо, чтобы

Так как углы φ и φ₁заключены в интервале [0, π/2], то из

равенства (7.10) следует первый закон Снеллиуса φ = φ₁("Угол

падения равен углу отражения"). Из равенства (7.11) вытекает

соотношение sin θ/sinφ = k₁/k₂, которое в случае идеальных

однородных изотропных сред выражает второй закон Снеллиуса

("Отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно относительному показателю преломления сред n₁₂"). Дей­ствительно, коэффициент преломления среды п = c₀ /c, где с₀ =

Для определения постоянных А и В используем граничные условия (7.7). Так как поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны, то формулы (7.7) принимают вид

Подставляя в эти выражения значения соответствующих составляющих комплексных амплитуд напряженности электри­ческого и магнитного полей и учитывая равенства (7.10) и (7.11), приходим к соотношениям

где - коэффициенты отражения и прохождения соответ­ственно. Их также часто называют коэффициентами Френеля

-Падение плоской волны на границу поглощающей среды. Действительный угол преломления.

Падение плоской волны на границу поглощающей оптически более плотной среды.

Пусть плоская волна падает под углом φ на плоскую границу раздела двух сред, из которых первая - идеальный диэлектрик, а вторая обладает проводимостью. Общие формулы, определяю­щие поля падающей, отраженной и преломленной волн, можно использовать и в этом случае, если считать в них параметры k₂и Z_c2 комплексными величинами. Из второго закона Снеллиуса (7.11) следует, что при этом sin 8 становится комплексным, так как k₁и sinφ - действительные числа, а k₂ = k₂комплексная величина.

Это означает, что параметр θ нельзя рассматривать как геометрический угол, под которым распространяется прелом­ленная волна. Введем обозначения

и х = const соответственно. Сле­довательно, волна (7.46) явля­ется неоднородной плоской во­лной. Направление распрост­ранения этой волны образует некоторый угол θ_Д с осью X, который называют истинным (или действительным) углом преломления (рис.7.7). Поверх­ности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, нормаль к которым образует с осями X и Zуглы θд и π/2-θд соответственно. Уравнение,

определяющее такие плоскости, может быть также записано в виде х cosθ_Д+ zsinθ_Д = const. Сравнивая это равенство с уравнением (7.47), находим, что

Отметим, что в рассматриваемом случае ПРФ повернуты относительно ПРА на угол θ_Д (см. рис.7.7).

Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают в направлении нормали к поверхности раздела (вдоль оси X). Имеется продольная по отношению к направлению распростра­нения преломленной волны составляющая вектора Н(в случае нормальной поляризации) или продольная составляющая вектора Е (в случае параллельной поляризации).

Поле в первой среде складывается из падающей и отра­женной волн и не имеет принципиальных отличий от поля, воз­никающего при отражении волны от границы раздела двух ди­электриков.

Аналогичные результаты можно получить, анализируя случай параллельной поляризации.

Практически важным является случай, когда вторая среда оптически намного плотнее первой:

Это означает, что при любом угле падения ср на поверхность хорошо проводящей среды преломленная волна распространяется практически вдоль нормали к поверхности раздела. Поверхности равных фаз и поверхности равных амплитуд при этом практически совпадают, и волну можно считать однородной. Продольная по отношению к направлению распространения составляющая век­тора Н (или, в случае параллельной поляризации, вектора Ё)будет пренебрежимо мала по сравнению с поперечной состав­ляющей. Можно считать, таким образом, что волна является поперечной, причем векторы Е и Н, в ней сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол Иными словами, при анализе плоской волны, возникающей в результате пре­ломления на поверхности хорошо проводящей среды, можно использовать все основные соотношения, полученные в 6.1.4 при исследовании свойств плоской волны, свободно распростра­няющейся в хорошо проводящей безграничной однородной изо­тропной среде.

Подчеркнем, что амплитуды векторов Е и Н преломленной волны в металле быстро убывают с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела.

24 Приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина (вывод и запись условия).

Задача определения поля в присутствии металлических тел с конечной проводимостью имеет большое значение. Ее решение часто можно упростить введением приближенных граничных ус­ловий Леонтовича-Щукина. В отличие от обычных граничных условий, связывающих значения составляющих поля на границе раздела в разных средах, граничные условия Леонтовича-Щукина

выражают связь между составляющими векторов Ё и Н в одной среде.

В 7.6 было показано, что при выполнении условия (7.49) плоская волна, падающая под любым углом ср на границу раздела двух сред, возбуждает во второй среде плоскую волну, рас­пространяющуюся практически вдоль нормали к поверхности раз­дела. Так как ПРФ и ПРА такой волны практически совпадают, то ее можно считать однородной. При этом должны выполняться соотношения

где п₀-единичная нормаль, внешняя к плотной среде.

Соотношение (7.52) называют приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина. Из него следует, что на поверх­ности реального проводника касательная составляющая напря­женности электрического поля отлична от нуля. Отметим, что граничное условие Леонтовича-Щукина в предельном случае σ₂→∞совпадает с обычным условием Е_1τ=0, которое должно выполняться на поверхности идеального проводника.

Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо проводящей среды мало, то и касательная составляющая вектора Е на поверхности такой среды будет мала. Однако она определяет нормальную к поверхности проводника компоненту вектора Пойнтинга, т.е. уходящий в металл поток энергии. В инженерных расчетах касательную составляющую вектора Е на поверхности реального проводника обычно не учитывают, кроме тех случаев, когда требуется определить потери в проводнике, т.е. считают, что структура поля над реальным проводником такая же, как и над идеальным проводником той же конфигурации.

Граничное условие (7.52) является приближенным. Это сле­дует непосредственно из его вывода, при котором предполагалось, что образующиеся во второй среде волны распространяются строго по нормали к поверхности раздела. В действительности направление распространения образует некоторый (в случае ме­таллов очень малый) угол с нормалью к поверхности раздела.

Условие (7.52) было получено в предположении, что граница раздела является плоской. При произвольной форме поверхности раздела условием (7.52) можно пользоваться только в тех случаях, если минимальный радиус кривизны поверхности R_minзначительно превышает глубину проникновения Δ⁰ (см. 6.1.6):

25 . Явление поверхностного эффекта

Выше (см.6.1.5) было показано, что напряженность переменного электрического поля внутри металла, а следовательно, и плотность тока (j = оЕ) экспоненциально убывают по мере удаления от поверхности раздела. На высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называют поверхностным эффектомили скин-эффектом.

В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Это приводит к увеличению активного сопротивления провода. На высоких частотах оно может во много раз превысить сопротивление провода при постоянном токе. Кроме того, поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию, сосредоточенную внутри проводника, что вызывает уменьшение внутренней индуктивности провода. Очевидно, что поверхностный эффект тем заметнее, чем больше радиус провода. Так как вследствие поверхностного эффекта центральная часть провода, по существу, не используется, то на высоких частотах для экономии металла и уменьшения веса часто сплошные провода заменяют полыми.

Явление поверхностного эффекта позволяет использовать металлические экраны для защиты различных элементов электрических цепей от влияния на них переменного электрического поля. Если экран полностью охватывает объект, а его толщина составляет несколько глубин проникновения (Д°),то внешнее электромагнитное поле практически сквозь него не проникает.

Очевидно также, что при этих условиях существующее внутри экрана поле, в свою очередь, не сможет проникнуть в окружающее пространство. Если защищаемый объект неполностью охватывается экраном, то электромагнитное поле будет частично проникать за экран в результате дифракции волн.

Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но пропускает магнитное, если он выполнен из парамагнитного или диамагнитного металла.

Потери энергии в проводнике

Пусть металлический объект, размеры и минимальный радиус кривизны поверхности которого велики по сравнению с глубиной проникновения, находится в монохроматическом электромагнитном поле. Под воздействием этого поля в металле наводятся электрические токи, на поддержание которых расходуется электромагнитная энергия. Вычислим соответствующую этому процессу среднюю за период мощность джоулевых потерь. Запишем
уравнение баланса средних за период значений мощности для объема V, занимаемого рассматриваемым объектом. Учитывая, что внутри объема V нет сторонних источников, приходим к равенству 0 = Р_пср + Рюр,из которого следует, что

(7.54)

где По-орт внешней нормали к поверхности рассматриваемого объекта S. Как видно, для определения мощности Р_гсрнет необходимости вычислять поле внутри объекта, достаточно проинтегрировать по S перпендикулярную к ней составляющую комплексного вектора Пойнтинга. Знак минус в формуле (7.54) объясняется тем, что джоулевы потери определяются потоком энергии, направленным внутрь проводника, а орт п₀направлен из объема V в окружающее пространство. Нормальная составляющая вектора
Пойнтинга определяется касательными составляющими векторов

Испольуя приближенное граничное условие Леонтовича-Щукина, получаем :

Для сокращения записи введем обоначение

Раскрывая двойное векторное произведение по формуле получаем

(7.55)
где ц₂ и <з₂ - абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость проводника.

Таким образом, средняя за период мощность джоулевых потерь в проводнике

Как уже отмечалось, структура поля у поверхности реального проводника близка к структуре поля у такой же поверхности идеального проводника. Поэтому при вычислении потерь обычно предполагают, что H°_m = Н° |. Это предположение существенно
упрощает расчеты, обеспечивая достаточную для инженерной практики точность результатов.

Поверхностное сопротивление проводника

Касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла Ё_ч и плотность эквивалентного поверхностного тока j_s направлены одинаково. Следовательно,
можно записать

Козфффициент пропорциональности Z_s принято называть поверхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу (7.50) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем, что поверхностное сопротивление

Активная часть поверхностного сопротивления

Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной Д°без учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина проникновения").

Отметим, что среднюю за период мощность потерь в проводнике [формула (7.57)] можно выразить также через эквивалентный поверхностный ток и активную часть поверхностного сопротивления:

26. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ,ВИДЫ НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ. ВИДЫ Э-М ВОЛН В НАПРАВЛЯЮЩАХ СИСТЕМАХ.

Кроме свободно распространяющихся волн, рассмотренных в предыдущих главах, существуют волны, распространение которых возможно только при наличии каких-либо направляющих элементов (границы раздела сред, металлических, диэлектрических или
пол у проводящих трубок, стержней и др.). Такие волны называют направляемыми. Совокупность направляемых элементов образует направляющую систему. Направляющие системы служат для передачи энергии электромагнитной волны от источника (генератора) к потребителю например от передатчика к антенне, от прием-
ной антенны ко входу приемника и т.д. В связи с этим направляющие системы называют также линиями передачи энергии или, более коротко, линиями передачи. Направляющую систему, у которой поперечное сечение и другие параметры не меняются в продольном направлении, называют однородной. На рис.9.1 изображены поперечнью сечения некоторых используемых на практике однородных направляющих систем: двухпроводной (а), коаксиальной (б), экранированной двухпроводной (в), симметричной (г) и несимметричной (д) полоскоаых линий, диэлектрического волновода (е), световода (ж) и полых металлических волноводов: прямоугольного (з), круглого (и) и эллиптического (к).

Все линии передачи можно разделить на два класса: линии открытого типа (см., например, рис. 9.1, а, г, д, е, ж) и линии закрытого типа (см., например, pnc.9.1,6,s,3,u,K).В линиях передачи закрытого типа вся передаваемая энергия сосредоточена в области,
экранированной от внешней среды металлической оболочкой той или иной формы. В линиях открытого типа электромагнитное поле, строго говоря, распределено во всем пространстве, окружающем линию. Линии открытого типа обычно выполняют таким образом, чтобы подавляющая часть передаваемой энергии была сосредоточена в непосредственной близости к линии. Тем не менее линии открытого типа подвержены влиянию внешних воздействий. На волны в таких линиях влияют электромагнитные лоля, созданные другими источниками, и внешние условия (например, метеорологические: дождь, снег, обледенение).

По структуре поля направляемые волны делятся на поперечные, электрические, магнитные и гибридные.

Поперечными воинами, или ТЕМ-волнами (Т- первая буква английского слова transvers, что означает поперечный), называют волны, у хоторых векторы Е и Нперпендикулярны направлению распространения волны, т.е. не имеют продольных составляющих.

Отметим, что в соответствии с ГОСТ 18238-72 (Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения) эти волны полагается называть Г-волнами. Однако это название практически не используется ни в зарубежной, ни в отечественной литературе.
Поэтому в книге сохранен общепринятый термин ТЕIW-волны.

Электрическими волнами, или Е-волнами, называют волны, у которых вектор Еимеет как поперечные, так и продольную составляющие, а продольная состааляющая вектора Нравна нулю. Е-вопны иногда называют поперечными магнитными волнами или Ш-волнами.

Магнитными волнами, или Н-волнами, называют волны, у которых вектор Нимеет как поперечные, так и продольную составляющую, а продольная составляющая вектора Еравна нулю. Н-волны иногда называют поперечными электрическими волнами
или ГЕ-волнами.

Гибридными, или смешанными волнами называют волны, у которых и вектор Е,и вектор Ннаряду с поперечными составляющими имеют и продольные составляющие.

27. Свойства электромагнитных волн различного типа (критическая частота, условие распространения волн, длина направленной волны, фазовая скорость, групповая скорость, дисперсия волн, зависимость волнового сопротивления от частоты). Затухание электромагнитной волны в линиях передачи (причины возникновения затухания)

В случае электрических (E_mz≠0, Н_тг = 0), магнитных (H_mz≠ 0, E_mz= 0) и гибридных (Е_mz≠ 0 и H_mz≠0) волн постоянная γ_┴ отлична от нуля. Это следует, в частности, из равенств (9.8) и (9.9). Для каждой конкретной линии передачи она может быть опре­делена в результате решения уравнений (9.10) и учета краевых условий, соответствующих этой линии. Постоянная γ_┴зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от типа распространяющейся волны, но не зависит от частоты.

Выражая коэффициент фазы β из (9.3), получаем

Так как то в зависимости от частоты подкоренное

выражение в (9.11) может быть положительным (при k> γ_┴), равным нулю (при k= γ_┴) или отрицательным (при k<γ_┴).

В первом случае параметр β -действительное число и фазы составляющих векторов поля в фиксированный момент t= t_o= const линейно зависят от координаты z, что является признаком рас­пространения волны вдоль оси Z с постоянной скоростью v_ф = ω/β. Как будет видно из дальнейшего, распространение волны в этом случае сопровождается переносом энергии вдоль оси Z.

В третьем случае к< γ_┴. Подкоренное выражение в (9.11) оказывается отрицательным, и Знак в правой части последнего равенства выбран из физических соображений: при этом множитель ехр и амплитуды состав­ляющих векторов Ё_т и Н_т экспоненциально убывают вдоль оси

Z. Если принять β= i | β|, то амплитуды векторов поля будут возрастать с удалением от источников, что в рассматриваемой задаче физически невозможно. Фазы составляющих векторов поля в данном случае не зависят от координат: поле имеет характер стоячей волны и экспоненциально уменьшается вдоль оси Z. Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля вдоль линии передачи не связано с потерями энергии: рас­сматривается идеальная направляющая система, в которой поте­ри отсутствуют.

Во втором случае параметр β = 0. Такой режим называют критическим. Частота f= f_кp, определяемая из условия к = γ_┴, называется критической частотой:

Соответствующая этой частоте критическая длина волны

Выражая γ_┴из (9.13) и подставляя в (9.11), получаем

Как видно, параметр β является действительной величиной, т.е. поле (9.1) представляет собой распространяющуюся волну, только при выполнении условия

Неравенство (9.15) можно переписать в виде

Таким образом, Е-, Н- и гибридные волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превы­шающих некоторую критическую частоту, определяемую форму­лой (9.12). Отметим, что значение f_кpзависит от формы и размеров поперечного сечения линии и типа волны.

Неравенство (9.15), а также (9.16) часто называют условием распространения волны в линии передачи.

По аналогии с обычным определением назовем длиной нап­равляемой волны Λ, распространяющейся в линии передачи, расстояние между двумя поперечными сечениями, в которых в один и тот же момент времени фазы составляющих вектора Е(или Н) отличаются на 2π. Очевидно также, что длина волны Λ равна расстоянию, на которое поверхность равной фазы перемещается за период. Так как зависимость всех составляющих векторов поля от координаты zопределяется множителем ехр (- iβz), то

а фазовая скорость вычисляется по формуле

Как видно, при λ< λ_крдлина волны в линии и фазовая скорость Е-, Н- и гибридных волн больше соответственно длины волны λ = c/fи фазовой скорости v_ф=с волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной среде без по­терь с параметрами ε и μ .

Отметим, что у Е-, Н- и гибридных волн фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называют дисперсией волн. При f= f_кp(λ = λ_кр) фазовая скорость равна бесконечности, при увеличении частоты v_ф приближается к скорости света (рис. 9.2).

Общие выражения для критической длины волны (9.13), критической частоты (9.12), коэффициента фазы (9.14), длины волны в линии (9.17) и фазовой скорости (9.18) одинаковы для Е-, Н- и гибридных волн. Однако из этого не следует, что значения перечисленных параметров будут одинаковыми для этих волн. Критическая длина волны зависит от поперечного волнового числа (λ_кр= 2π/ γ_┴). В свою очередь, значение γ_┴ зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от структуры поля распространяющейся волны. Структура поля Е-, Н- и гибридных волн различна, поэтому в общем случае соответ­ствующие данным волнам значения γ_┴могут не совпадать. При этом для указанных волн не будут совпадать и значения параметров λ_кр, f_rp, β, \/_ф и Λ.

Перейдем к вычислению характеристических сопротивлений рассматриваемых волн. По определению характеристическое сопротивление волны равно отношению поперечных к направле­нию распространения составляющих векторов Ё_т и Н_т.

В случае Е-волн поперечные составляющие векторов Ё_т и Н_m определяются формулами

перпендикулярны. Из полученного соотношения вытекает следую­щее выражение для характеристического сопротивления Е-волн:

 

Как видно, в случае Н-волн векторы Ё_т┴и Н_т┴ (и соответ­ствующие им векторы , как и аналогичные им векторы в случае Е-волн, взаимно перпендикулярны. Характеристическое сопротивление Н-волн зависит от частоты. При λ< λ _кроно всегда больше Z_c. При увеличении час­тоты от критической до беско­нечности убывает от беско­нечности доZ_c (см. рис. 9.3).

В области волн длиннее кри­тической (λ > λк_Р) характеристи­ческие сопротивления Е- и Н-волн являются чисто мнимыми величинами. Это означает, что при λ>λ_крпоперечные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей Ё_т┴и Н_т┴сдвинуты по фазе на 90°. Очевидно, что при этом комплексный вектор Пойнтинга принимает чисто мнимые значения, т.е. вдоль линии не происходит переноса энергии. Поле в линии при λ > λк_Р является чисто реактивным. Напомним, что все формулы данного раздела получены в предположении, что линия является идеальной (не вносит потерь).

В случае гибридных волн (E_mz≠0 и Н_mz # 0) поперечные сос­тавляющие векторов Ё_т и Н_топределяются общими формулами (9.8) и (9.9). Поэтому получить единое простое выражение для характеристического сопротивления не удается: его величина за­висит и от линии передачи, и от структуры поля распрост­раняющейся волны и при λ < λк_Р может быть как больше, так и меньше Z_c. На частотах, меньших критической (λ > λк_Р), харак­теристическое сопротивление гибридных волн также принимает чисто мнимые значения.

Свойства TEM - волн

Так как в случае ТЕМ-волн γ_┴= 0, то коэффициент фазы, фазовая скорость и длина волны будут совпадать с аналогичными параметрами волны, свободно распространяющейся в безгра­ничной однородной изотропной среде:

 

Характеристическое сопротивление ТЕМ-волны легко нахо­дится из уравнений (9.4). Полагая в этих уравнениях Е_mz = 0 и H_mz= 0, приходим к соотношениям, которые можно записать в виде векторного равенства

Как видно, Z_C^TEMсовпадает с характеристическим сопро­тивлением волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной среде с параметрами εи μ.

Отметим, что равенства (9.22), (9.25) и (9.30) однотипны и отличаются только значениями характеристических сопротивле­ний. Эти равенства можно объединить в одну формулу:

 

Поле, удовлетворяющее таким уравнениям, является потен­циальным. Это означает, что решения уравнений (9.33) могут быть представлены в виде градиентов от некоторых скалярных функ­ций, например:

E⁰=-gradu⁰, (9.34)

где функция и° зависит только от поперечных координат и удовлетворяет уравнению Лапласа ∆_┴²u°=0. Аналогичное пред­ставление для вектора Й°_т┴можно не выписывать, так как векторы Ё°и Н°связаны соотношением, аналогичным (9.30): H°=(1/Z_c)x

x[z_o,E°].

В уравнения (9.33) не входит частота. Из этого следует, что функции Ё° и Н°, определяющие структуру поля в поперечных сечениях линии, не зависят от частоты и могут быть найдены на основе решения рассматриваемой задачи при f→0. Для определения вектора Ё° достаточно решить двумерную электроста­тическую задачу для такой же линии. При этом во многих случаях целесообразно вначале определить функцию и⁰, которую можно трактовать как электростатический потенциал указанной электро­статической задачи, а затем воспользоваться формулой (9.34).

Функция Н° совпадает с напряженностью магнитного поля, соз­даваемого постоянными токами, текущими по рассматриваемой линии при f→0. Поэтому она может быть найдена либо не­посредственно, если известно распределение токов, либо по

формуле, аналогичной (9.30), после определения вектора Ё°.

 

 

---

⇐ Предыдущая11121314151617Следующая ⇒

---

Просмотров 1151

Эта страница нарушает авторские права

---