Тема 1. ПОНЯТТЯ ПРО ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ І МОДЕЛЮВАННЯ 1 часть

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ЗАТВЕРДЖУЮ

Ректор____________С.В. Іванов

(підпис)

Р.

ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

до вивчення дисципліни,

Виконання лабораторних та контрольних робіт

для студентів напряму підготовки 6.03050801 «Фінанси і кредит», 6.03050901 «Облік і аудит», 6.03050701 «Маркетинг»

всіх форм навчання

Підпис автора ___________________

«____»____________20__ р.

Реєстраційний номер електронних

методичних рекомендацій

у НМВ 46.19-01.07.2013

Київ НУХТ 2013

Оптимізаційні методи і моделі: навчально-методичний посібник до вивчення дисципліни, виконання лабораторних та контрольних робіт для студентів напряму підготовки 6.03050801 «Фінанси і кредит», 6.03050901 «Облік і аудит», 6.03050701 «Маркетинг» всіх форм навчання за напрямом підготовки 6.0305..«Фінанси» всіх форм навчання/ Укл.: Л.В.Мазник – К.: НУХТ, 2013. – 83 с.

Рецензент: О.В. Михайленко, канд. екон. наук

Укладачі: Л.В.Мазник, канд. екон. наук,

Відповідальний за випуск О.І. Драган, д-р екон. наук

Зміст

1. Загальні відомості 4

2. Зміст занять з дисципліни

3. Питання для підготовки до іспиту. Ошибка! Закладка не определена.

4. Вказівки до виконання лабораторних робіт. 6

5. Вказівки до виконання контрольної роботи студентами заочної форми навчання. 6

Тема 1. ПОНЯТТЯ ПРО ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ І МОДЕЛЮВАННЯ 9

Лабораторна робота № 1. «Лінійна модель». 16

Лабораторна робота № 2. «Степенева функція». 18

Лабораторна робота № 3. «Параболічна функція». 21

Лабораторна робота № 4. «Гіперболічна функція». 22

Лабораторна робота № 5. «Експоненціальна модель». 23

Тема 2. ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ.. 24

Лабораторна робота № 6 «Задача про оптимальне використання сировини». 33

Тема 3. МОДЕЛІ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНУВАННЯ НА РІВНІ ПІДПРИЄМСТВА.. 34

Лабораторна робота № 7 «Розрахунок оптимальної виробничої
програми карамельного цеху». 36

Лабораторна робота № 8 «Оптимізація виробничої програми
молочного заводу». 60

Лабораторна робота № 9 «Оптимізація виробничої програми
ковбасного виробництва». 64

Лабораторна робота № 10 «Оптимізація виробничої програми хлібозаводу». 71

Лабораторна робота № 11 «Модель оптимального використання потужності». 88

Лабораторна робота № 12. «Транспортна задача». 92

Тема 4. ЦІЛОЧИСЛОВЕ ПРОГРАМУВАННЯ……………………………………

Тема 5. НЕЛІНІЙНІ ОПТИМІЗАЦІЙНІ МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ Література 110

1. Загальні відомості

Мета викладання навчальної дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі» полягає в формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів оптимізаційних економіко-математичних моделей в управлінні персоналом. Вивчення цієї дисципліни дозволяє надати студентам комплекс знань по постановці і вирішенню економіко-управлінських задач для народного господарства, його ланок і елементів на основі методів дослідження операцій та оптимізаційних моделей математичного моделювання з використанням сучасних математичних методів і обчислювальної техніки, аналізу результатів вирішення задач і прийняттю на цій основі управлінських рішень та навчити студентів застосовувати на практиці основні види оптимізаційних моделей.

Основними завданнями вивчення дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі» є:

- вивчення основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови моделей, методів їх розв'язування та аналізу з метою використання в економіці;

-обов'язкове використання в управлінській діяльності кращих, передових досягнень науки, мистецтва і досвіду математичного моделювання для забезпечення ефективності та раціональності управління персоналом;

- надати студентам комплекс знань з: методик діагностування, аналізу, оцінювання стану керованого об'єкта, програмування, виробленню критеріїв оцінювання і моніторингу наслідків управлінських рішень;

- використання сучасного програмного та апаратного забезпечення процесу створення економіко-математичних моделей.

Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні:

знати:

- основні принципи вирішення оптимізаційних задач математичного моделювання;

вміти :

- здійснювати класифікацію моделей;

- розробляти базові економіко-математичні моделі;

- визначати склад основних показників, за якими можна оцінити змінні;

- оцінити математичну модель за визначеними показниками;

- здійснювати економічний аналіз отриманої моделі;

- розкрити економічний зміст основних характеристик моделі;

мати навички:

-побудови оптимізаційних моделей різних типів та різної складності для економічних досліджень;

- визначення оптимального плану та цілі його знаходження для задач лінійного, цілочислового, динамічного, нелінійного програмування;

- користування основними прикладними програмами для побудови і вирішення задач математичного моделювання.

Зміст занять з дисципліни

Тема 1. Предмет, метод і задачі курсу.

Основні дефініції математичного моделювання. Моделювання в економіці та його використання в розвитку та формалізації економічної теорії та управлінні персоналом. Теоретичні основи математичного моделювання та класифікація моделей. Математична модель та її основні елементи. Принципи та етапи побудови моделей.

Тема 2. Функції і графіки в економічному моделюванні.

Поняття функціональної залежності. Способи завдання та дослідження функцій. Приклади побудови і аналізу графіків функцій. Застосування графіків в економічному моделюванні.

Тема 3. Моделі задач лінійного програмування та методи їх розв'язування.

Постановка задач лінійного програмування, їх моделі та основні форми. Графічний метод розв'язування задач лінійного програмування. Симплексний метод розв'язування задач лінійного програмування. Метод штучного базису. Розв'язування задач лінійного програмування з допомогою пакетів прикладних програм.

Тема 4. Теорія двоїстості та кількісний аналіз оптимізаційних розрахунків.

Двоїстість у задачах лінійного програмування. Основні теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод. Економіко-математичний аналіз оптимальних розрахунків.

Тема 5. Транспортна задача

Постановка транспортної задачі та її математична модель. Методи побудови початкового опорного плану. Метод потенціалів. Модель оптимізації штатного розпису фірми.

Тема 6. Задачі цілочислового лінійного програмування та методи їх розв'язання.

Постановка задачі цілочислового лінійного програмування. Методи розв'язування задач цілочислового лінійного програмування. Прикладні моделі задач цілочислового лінійного програмування.

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем. Постановка задачі нелінійного програмування та її характерні особливості. Основні види задач нелінійного програмування. Прикладне використання методу множників Лагранжа.

Тема 8. Динамічне програмування.

Постановка задачі динамічного програмування. Методи розв’язування задач динамічного програмування. Прикладні моделі динамічного програмування.

Питання для підготовки до іспиту

1. Основні дефініції математичного моделювання.

2. Моделювання в економіці та його використання в розвитку та формалізації економічної теорії та управлінні персоналом.

3. Теоретичні основи математичного моделювання та класифікація моделей. 4. Математична модель та її основні елементи.

4. Принципи та етапи побудови моделей.

5. Приклади побудови і аналізу графіків функцій. Застосування графіків в економічному моделюванні.

6. Постановка задач лінійного програмування, їх моделі та основні форми.

7. Графічний метод розв'язування задач лінійного програмування.

8. Симплексний метод розв'язування задач лінійного програмування.

9. Розв'язування задач лінійного програмування з допомогою пакетів прикладних програм.

10. Двоїстість у задачах лінійного програмування.

11. Основні теореми двоїстості.

12. Двоїстий симплекс-метод.

13. Економіко-математичний аналіз оптимальних розрахунків.

14. Постановка транспортної задачі та її математична модель.

15. Методи побудови початкового опорного плану.

16. Метод потенціалів.

17. Модель оптимізації штатного розпису фірми.

18. Постановка задачі цілочислового лінійного програмування.

19. Методи розв'язування задач цілочислового лінійного програмування.

20. Прикладні моделі задач цілочислового лінійного програмування

21. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.

22. Постановка задачі нелінійного програмування та її характерні особливості. 23. Основні види задач нелінійного програмування.

24. Прикладне використання методу множників Лагранжа.

25. Постановка задачі динамічного програмування.

26. Методи розв’язування задач динамічного програмування.

27. Прикладні моделі динамічного програмування.

4. Вказівки до виконання лабораторних робіт

Лабораторні роботи з дисципліни «Оптимізаційні методи і моделі», що виконують студенти, спрямовані на практичне засвоєння матеріалу з тем дисципліни, передбачених навчальною програмою. Завдання до лабораторних робіт дають студентам можливість опанувати методи знаходження розв’язків задач лінійного програмування, розв’язування оптимізаційних задач за допомогою програм Microsoft Еxcel, набути практичних аналітичних навичок математичного моделювання економічних процесів, які є основою економічних досліджень.

Лабораторні роботи студент виконує згідно з варіантом, який отримує у викладача. Роботу потрібно виконувати в зошитах для лабораторних робіт або на пронумерованих стандартних аркушах паперу (формат А4), які потім зшити.

5. Вказівки до виконання контрольної роботи
студентами заочної форми навчання

Для виконання контрольної роботи потрібно ознайомитись з літературою з дисципліни (список додається). Моделювання здійснюють на основі вибірки статистичних даних, яку студент отримує з відповідних таблиць.

Робота повинна бути акуратно оформлена, мати титульну сторінку, на якій зазначаються: назви університету й дисципліни, прізвище та ініціали студента, факультет, курс, група, номери залікової книжки та варіанта контрольної роботи.

Контрольну роботу потрібно виконувати на пронумерованих стандартних аркушах паперу (формат А4), які потім зшити. В кінці роботи навести список використаної літератури згідно з правилами бібліографічного опису. На останній сторінці роботи проставити дату її виконання та свій власний підпис.

У контрольній роботі на основі виконаних лабораторних робіт необхідно побудувати моделі за темами: «Побудова, вирішення і аналіз задач лінійного програмування», «Модель оптимального завантаження обладнання», «Модель оптимізації виробничої програми підприємства», «Оптимізація рекламної кампанії підприємства».

Варіант лабораторних робіт № 3, № 4, № 5, № 7, № 8, № 9, № 10 студент обирає за останньою цифрою номера залікової книжки (табл. 1).

Таблиця 1

Варіанти лабораторних робіт

Для лабораторних робіт № 1, № 2, № 6, №11, №12 за двома останніми цифрами номера залікової книжки (табл. 2).

Таблиця 2

Варіанти лабораторних робіт

Тема 1. ПОНЯТТЯ ПРО ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ І МОДЕЛЮВАННЯ

Економіко-математичні моделі дають змогу співставити характеристики реального економічного об’єкта чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей, які класифікують за різними критеріями.

За цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-аналітичні, застосовувані для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв’язування конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).

Економіко-математичні моделі можуть бути призначені для дослідження як різних функціональних складових економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем — секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв’язків тощо.

Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні найчастіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв’язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об’єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об’єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.

За характером відображення причинно-наслідкових зв’язків розрізняють детерміновані моделі та моделі, що враховують випадковість і невизначеність -стохастичні.

Залежно від урахування часового чинника економіко-математичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях усі залежності стосуються одного моменту або періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі.

За тривалістю періоду часу, що розглядається, розрізняють моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10—15 і більше років) прогнозування та планування. Час в економіко-математичних моделях може змінюватися неперервно або дискретно. Тому розрізняють неперервні та дискретні моделі.

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. У загальному випадку виокремлюють лінійні та нелінійні моделі. Особливо важливим є клас лінійних моделей, найзручніших для аналізу й розрахунків, завдяки чому вони набули великого поширення.

Відмінності між лінійними та нелінійними моделями істотні не лише з математичного, а й з теоретико-економічного погляду. Адже численні залежності в економіці як на макро-, так і на мікрорівні мають принципово нелінійний характер: ефективність використання ресурсів з розширенням виробництва, зміна обладнання, моделі управління запасами тощо. Теорія «лінійної економіки» істотно відрізняється від теорії «нелінійної економіки». Від того, якими — опуклими чи не опуклими — вважаються множини виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств), істотно залежать висновки про можливості поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються до моделей, останні поділяють на відкриті і замкнені. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна мати хоча б одну ендогенну змінну. Повністю замкненими (такими, що не містять жодної екзогенної змінної) економіко-математичні моделі бувають надзвичайно рідко. Загалом економіко-математичні моделі різняться за ступенем відкритості.

Макроекономічні моделі поділяють на агреговані та деталізовані. Залежно від того, чи містять ці моделі просторові чинники та умови, чи ні, розрізняють моделі просторові та точкові.

Отже, загальна класифікація моделей охоплює понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації застосовуваних моделей дедалі ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо мішаних типів) і нових ознак їх класифікації відбувається інтеграція моделей різних типів у складніші модельні конструкції.

Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання.

Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів:

– об’єкта дослідження;

– суб’єкта (дослідник);

– моделі, яка опосередковує відносини між суб’єктом і об’єктом.

Побудова економіко-математичних моделей у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об’єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв’язки між його елементами, а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об’єкта (динаміку руху), дослідити його зв’язки із зовнішнім середовищем тощо. При цьому складні об’єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв’язки та логічні співвідношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об’єкт подається у вигляді системи.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді конкретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв’язку між ними. Для складних об’єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.

3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків. Важливим моментом є доведення існування розв’язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з’ясовують кількість розв’язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв’язку, а також межі та тенденції їх зміни.

4. Підготовка вихідної інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.

5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютерних програм та безпосереднє виконання розрахунків.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі. Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властивостями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач.

Верифікація моделі – перевірка правильності структури (логіки) моделі.

Валідація моделі – перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв’язку, зокрема можуть існувати зворотні зв’язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.

Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації.

Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім – до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі – до третього і т. д.

Для кращого розуміння термінології слід вказати різницю понять моделі та методу прийняття рішень.

Модель – це все те, що образно представляє якийсь об’єкт чи процес і використовується для аналізу або вивчення цього об’єкту чи процесу. Наприклад: цільова функція – модель якогось економічного процесу.

Метод – це всі ті дії, які при вивченні моделі застосовує людина для досягнення якогось результату.

Методи прийняття рішень різноманітні за своїм змістом, сферами застосування, за рівнем теоретичної розробки, ступеню практичної придатності і ефективності використання в реальних умовах.

Із різноманітних методів прийняття економічних рішень можна виділити найбільш поширені: математичне програмування; теорія ігор; теорія статистичних рішень; теорія масового обслуговування; метод причинно-наслідкового аналізу; використання моделі «дерево рішень».

Припустимо, що нам треба дослідити залежність одного економічного показника (Y) від іншого (X).

Алгоритми побудови моделей

Модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпоширенішим видом залежності між економічними змінними.

Скористаймося методом найменших квадратів, суть якого полягає у наступному: сума квадратів відхилень ординат точки, що спостерігається
(X_i, Y_i) від відповідної ординати точки, що лежить на регресійній прямій, повинна бути найменшою

Використання 1МНК для оцінки теоретичних параметрів моделі парної регресії приводить до таких систем нормальних рівнянь:

a) лінійна залежність Y = a₀ + a₁X.

Побудоване лінійне рівняння може слугувати початковою точкою в разі складних (суттєво нелінійних) залежностей.

Нелінійні зв'язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або апроксимують (наближують) лінійними функціями.

б) гіперболічна залежність . Замінюємо і отримаємо лінійну модель Y = a₀ + a₁х′.

Для оцінки теоретичних параметрів моделі складаємо систему нормальних рівнянь:

в) параболічна залежність Y = a₀ + a₁х² . Замінюємо х² = х′ і отримаємо лінійну модель Y = a₀ + a₁х′.

Для оцінки теоретичних параметрів моделі складаємо систему нормальних рівнянь:

г) степенева залежність .

Логарифмуємо функцію lnY = ln a₀ + a₁ · ln Х.

Замінюємо логарифми lnY = Y′, ln Х = Х′ , ln a₀ = a′.

Одержуємо лінійну модель Y′ = a′+ a₁ · Х′.

Складаємо систему нормальних рівнянь:

д) експоненціальна.

Для оцінки теоретичних параметрів зводимо модель до лінійного вигляду: