Вихідні дані для побудови робочої моделі

Таблиця 7.3.

Потреба у сировині, кг/т карамелі

Приклад виконання лабораторної роботи.

У карамельному цеху випускають декілька видів продукції. Продуктивність ліній визначається по варочному апарату. Кількість варильних апаратів – 1.

Вихідні дані для побудування робочої моделі маємо в таблиці 7.6. Грошові витрати на сировину для виробництва асортименту карамелі – в таблиці 3.7. Річна продуктивність лінії – в таблиці 7.8.

Розв'язування

Робоча модель задачі

1. Цільова функція – отримати максимальний прибуток від випуску карамелі при визначених обмеженнях по продуктивності обладнання, собівартості, попиту, загальному випуску.

F (x) = 278,33x₁ + 424,37x₂ + 583,21x₃ + 346,7x₄ +

+ 400x₅ + 566,67x₆ + 245x₇ + 341,4x₈ + 190,37x₉ ® max

2. Обмеження:

1) По ведучому обладнанню:

А₁ = x₁ + x₂ +x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ +x₉ £ 4230

2) По випуску товарної продукції:

А₂ = 1958,33x₁ + 2546,26x₂+ 2175x₃ + 2175x₄ + 2100x₅ + 2166,7x₆ +

+ 1815x₇ + 2178x₈ + 2136x₉ ³ 1603605,25

3) По собівартості продукції:

А₃ = 1680x₁ + 2121,89x₂ + 1591,79x₃ + 1828,3x₄ + 1700x₅ + 1600x₆ +

+ 1570x₇ + 2178x₈ + 2136x₉ £ 1323928,07

4) По максимальному та мінімальному попиту:

По випуску продукції

А₂₂ = x₁ + x₂ +x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ +x₉ ³ 748,5

По фінансовим можливостям

А₂₃ = 831,63x₁ + 851,75x₂ + 860,27x₃ + 868,17x₄ + 890,02x₅ +

+ 847,93x₆ + 890,05x₇ + 836,76 x₈ + 830,88x₉ £ 641314,28

Для реалізації задачі на ПК будуємо робочу матрицю (табл. 7.9), використовуючи вище наведену робочу модель.

Таблиця 7.6

Вихідні дані для побудови робочої моделі

Таблиця 7.7

Потреба у сировині, кг/т карамелі

Таблиця 7.8

Річна продуктивність ліній

Таблиця 7.9

Робоча матриця

Показники

Вид карамелі

Обмеження

Апельсин

Фрукт. -ягідн. десерт

Десертна

Яблуко

Абрикос

Вікторія

Слива

Лимон

Малина

знак

величина

Х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

х9

Функція цілі

278,33

424,37

583,21

346,7

566,67

341,4

190,37

max

Обмеження:

По обладнанню

£

Товарна Продукція

1958,33

2546,26

2166,7

≥

1603605,25

Собівартість

2121,89

1591,79

1828,3

1836,6

1945,6

£

1323928,07

По попиту

£

≥

£

≥

£

≥

Продовження табл. 7.9

За допомогою програми SIMPL.EXE знаходимо рішення оптимізаційної задачі. Активізуємо програму – натискаємо кнопку F7. У першому рядку записуємо функцію цілі. Далі вносимо ліву частину матриці, натискаємо кнопку F8, заповнюємо таблицю обмежень (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Вирішуємо задачу – натискаємо кнопку F4. На питання: «Вирішувати з висновком проміжних результатів?» відповідаємо “Y”. В результаті отримаємо таблиці: «Оптимальне рішення» та «Вивід відхилень по рядках» (рис. 7.2 та рис. 7.3).

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Отримані результати оптимізації виробничої програми лінії виробництва карамелі з фруктово-ягідними наповнювачами зводимо в таблицю 7.10.

Таблиця 7.10

Результати оптимізації

Продовження таблиці 7.10

Аналіз результатів

Аналіз попиту на продукцію в асортименті дозволив оптимізувати обсяги виробництва з метою збільшення прибутку від реалізації.

В результаті оптимізації прибуток від реалізації карамелі збільшився на 10332,53 грн. без зміни обсягу виробництва.

В межах попиту збільшився випуск карамелі: "Абрикос" – на 18,64 тонни, або на 22,72 %; "Десертна" – 6,9 тонн, або на 13,64 %; "Вікторія" – на 8,9 тонн, або на 9,88 %; "Лимон" – на 19,85 тони, або на 24,18 %.

Знизився випуск карамелей: "Апельсин" – на 14,1 тонн, або на 19,29 %; " Фруктово-ягідний букет " – на 0,29 тонни, або на 0,32 %; "Яблуко" – на 7,2 тонн, або на 8,26 %; "Слива" – на 23,1 тонн, або на 25,93 %; "Малина" – на 12,3 тонни, або на 14,59 %.

Витрати на 1 грн. товарної продукції зменшились на 0,53 коп. (0,63 %). Рентабельність випуску карамелі збільшилась на 0,78 %.

Послідовність розв'язування задачі «Оптимізація виробничої програми карамельного цеху»за допомогою табличного процесора Мicrosoft Ехсеl.

І.

1. Створюємо таблиці похідних даних (рис. 7.4) де розраховуємо питомий прибуток, товарну продукцію, потребу і вартість сировини.

Рис. 7.4

Розраховуємо по формулах питомий прибуток 1 т продукції, товарну продукцію.

Грошові витрати на сировину розраховуємо в таблиці 2 і робимо посилку з таблиці 1 на підсумковий рядок таблиці 2.

2. Запишемо задачу лінійного програмування в аналітичному вигляді:

F (x) = 278,33x₁ + 424,37x₂ + 583,21x₃ + 346,7x₄ +

+ 400x₅ + 566,67x₆ + 245x₇ + 341,4x₈ + 190,37x₉ ® max (7.1)

x₁ + x₂ +x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ +x₉ £ 4230, (7.2)

143,15x₁ + 229,60+ 153,12x₃ + 189,66x₄ + 172,26x₅ + 195,22x₆ +

+ 161,72x₇ + 178,81x₈ + 180,06x₉ ³ 1603,605, (7.3)

1680x₁ + 2121,89x₂ + 1591,79x₃ + 1828,3x₄ + 1700x₅ +

+ 1600x₆ + 1570x₇ + 2178x₈ + 2136x₉ £ 1323928,07,(7.4)

x₁ + x₂ +x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ +x₉ ≥ 748,5, (7.6)

831,63x₁+851,75x₂ +860,27x₃ + 868,17х₄ +890,02х₅ +

+847,93х₆ +890,05х₇ +836,76х₈ +830,88х₉ £ 641314,28 (7.7)

3. Для рішення задачі на аркуші Мicrosoft Ехсеlстворюємо «Базовий варіант» (рис. 7.5).

Рис. 7.5

В комірки електронних таблиць заносимо вихідні дані: базовий випуск, оптову ціну, максимальний та мінімальний попит.

Цільова функція (7.1) і обмеження (7.2 – 7.7) у вигляді формул заносяться у комірки колонки «Всього» (рис. 7.6, 7.7 та 7.8).

В останню колонку за допомогою «Спеціальної вставки» вставляємо копію колонки «Всього» для аналізу результатів розрахунку.

.

Вихідні дані для побудови робочої моделі (формули розрахунку)

Рис. 7.6

Потреба у сировині, кг/т карамелі (формули розрахунку)

Рис. 7.7

Річна продуктивність ліній (формули розрахунку)

Рис. 7.8

ІІ.

Після введення формул всіх обмежень і цільової функції для розв'язання задачі лінійного програмування за допомогою табличного процесора Мicrisoft Ехсеl потрібно виконати такі дії:

1. Створити новий лист – «Оптимізація» і скопіювати в нього лист «Базовий варіант».

Можна створити лист «Оптимізація» за допомогою наступної операції: відкрити лист «Базовий варіант», нажати кнопку Ctrlі мишкою потягнути за лист вправо й відпустити спочатку клавішу мишки, а потім кнопкуCtrl.Одержимо новий лист із назвою«Базовий варіант (2)»,змінимо назву на«Оптимізація».

На листі «Оптимізація» проведемо обчислення для завдання.

2. В головному меню виберіть пункт «Сервис»,далі – «Поиск решения» (рис.7.9).

Рис. 7.9

3. У поле «Установить целевую ячейку»введіть адресу або ім'я комірки, в якій знаходиться формула функції, що досліджується на екстремум. В нашому випадку ввести $М$9.

Щоб максимізувати значення цільової комірки шляхом зміни значень комірок шуканих невідомих змінних, встановіть перемикач «Равной»у положення максимальному значенню (Мах).

Щоб мінімізувати значення цільової комірки шляхом зміни значень комірок шуканих невідомих змінних, встановіть перемикач у положення мінімальному значенню (Міn).

Щоб знайти значення в цільовій комірці, яке дорівнює деякому числу шляхом зміни значень комірок шуканих невідомих змінних, встановіть перемикач у положення «значенню»і введіть у відповідне поле необхідне число.

В нашому випадку встановлюємо перемикач у положення максимальному значенню (Мах).

4. У поле «Изменяя ячейки»введіть іме­на чи адреси комірок шуканих невідомих змінних, розділяючи їх комами або за допомогою мишки вказати необхідні комірки. Допускається встановлення до 200 змінюваних комірок. В нашому випадку введемо $D$6:$L$6.Щоб автоматично знайти всі комірки, що впливають на цільову функцію, натисніть кнопку «Предположить».

5. У поле «Ограничения»введіть всі обмеження, що накладаються на пошук розв'язку. Для цього натисніть кнопку «Добавить».Відкриється вікно «Добавление ограничения»(рис. 7.10).

Рис. 7.10

У поле «Ссылка на ячейку»ввести комірку чи діапазон, на значення яких необхідно накласти обмеження. Поле «Ограничение»служить для завдання умови, що накладається на значення комірки чи діапазону, зазначеного вполі «Ссылка на ячейку».Виберіть необхідний умовний оператор ( <=, =, >=, цел або двоич ) (рис. 7.11).

Рис. 7.11

Введіть обмеження – число, формулу, посилання на діапазон – у поле праворуч від списку, що розкривається. Натисніть на кнопку «Добавить»,щоб, не повертаючись у вікно діалогу «Параметры поиска решения»,накласти нову умову на пошук розв'язку задачі. В нашому випадку потрібно ввести (рис. 7.12):

$D$13<=$D$6,

$D$6 <=$D$12,

$E$13<=$E$6,

$E$6<=$E$12,

$F$13<=$F$6,

$F$6<=$F$12,

$G$13<=$G$6,

$G$6<=$G$12,

$H$13<=$H$6,

$H$6<=$H$12,

$I$13<=$I$6,

$I$6<=$I$12,

$J$13<=$J$6,

$J$6<=$J$12,

$K$13<=$K$6,

$K$6<=$K$12,

$L$13<=$L$6,

$L$6 <=$L$12,

$M$10<=$O$10,

$M$14<=$O$14,

$M$18<=$O$18,

$M$6<=$O$6,

$M$8<=$O$8.

Рис. 7.12

6. Натисніть кнопку «Выполнить».

7. В результаті виконання програми повинно з’явитися повідомлення про коректність моделі і правильності розрахунків.

За допомогою цього діалогового вікна можна викликати звіти трьох типів: «Результаты», «Устойчивость», «Пределы» (рис. 7.13).

Рис. 7.13

8. Щоб зберегти знайдений розв'язок, встановіть перемикачу діалоговому вікні «Результаты поиска решения»в положення «Сохранить найденное решение».

9.Отже, оптимальний розв'язок лінійної задачі програмування має вигляд:

х₁=59; х₂=89,87; х₃=80; х₄=80; х₅=100,65; х₆=99;
х₇=66; х₈=101,98; х₉=72; F(x) _max = 290005,44.

10.Більш детальну інформацію по результатам оптимізації дозволяють отримати звіт по результатам, звіт по стійкості, звіт по границям.

Звіт за результатами

Звіт складається із трьох таблиць (рис. 7.14):

Таблиця 1 наводить відомості про цільову функцію.

У колонці «Исходно» наведені значення цільової функції до початку обчислень.

Таблиця 2 наводить значення шуканих змінних, отриманих в результаті рішення задачі.

Таблиця 3 показує результати оптимального рішення для обмежень і для граничних умов.

Рис. 7.14

Для Обмеженьу графі «Формула» наведені залежності, які були введені в діалогове вікно «Поиск решения»; у графі «Значение» наведені величини використаного ресурсу; у графі «Разница» показана кількість невикористаного ресурсу. Якщо ресурс використовується повністю, то в графі «Сатус» вказується «зв'язане»; при неповному використанні ресурсу в цій графі вказується «не зв'язаний».

Для Граничних умов приводяться аналогічні величини з тією лише різницею, що замість величини невикористаного ресурсу показана різниця між значенням змінної в знайденому оптимальному рішенні й заданим для неї граничною умовою.

Отже, у звіті по результатам порівнюються базовий і оптимальний обсяги виробництва. Тут вказані коефіцієнти цільової функції загалом до і після оптимізації, а також обмеження. Навпроти кожного обмеження є статус. Якщо статус зв’язаний, то це означає що ресурс вже використаний повністю і немає можливості збільшити його. Якщо статус не зв’язаний, то це означає що відповідного показника є більше, ніж потрібно, частина його не використана.

Звіт по стійкості

Звіт по стійкості (рис.7.15) складається із двох таблиць.

Рис. 7.15

У таблиці 1 приводяться наступні значення для змінних:

результат рішення задачі;

нормована вартість, тобто додаткові двоїсті змінні v_j, які, показують, наскільки змінюється цільова функція при примусовому включенні одиниці цієї продукції в оптимальне рішення;

коефіцієнти цільової функції;

граничні значення приросту коефіцієнтів цільової функції, при яких зберігається набір змінних, які входять в оптимальне рішення.

У таблиці 2 приводяться аналогічні значення для обмежень:

величина використаних ресурсів;

тіньова ціна, тобто двоїсті оцінки z_i, які показують, як зміниться цільова функція при зміні ресурсів на одиницю;

значення приросту ресурсів , при яких зберігається оптимальний набір змінних, які входять в оптимальне рішення.

Задачі аналізу, які можна вирішувати за допомогою приведених величин й .

Коротко за звітом по стійкості:

показник «Нормована вартість», показує як зміниться цільова функція при примусовому випуску одиниці j-го виду продукції. Цей звіт показує, яка продукція є вигідною.

В нашому випадку є вигідним збільшення обсягів виробництва карамелі «Десертна» і «Вікторія».

Звіт по границям

Цей звіт наведений на рис. 7.16. У ньому показано, у яких межах може змінюватися випуск продукції, що ввійшла в оптимальне рішення, при збереженні структури оптимального рішення:

приводяться значення х_j в оптимальному рішенні;

приводяться нижні межі зміни значень х_j.

Рис. 7.16

Крім цього, у звіті зазначені значення цільової функції при випуску даного типу продукції на нижній межі. Так, що

F = c₁ х₁ + c₂ х₂ + c₃ х₃ + c₄ х₄ + c₅ х₅ + c₆ х₆ + c₇ х₇ + c₈ х₈ + c₉ х₉ = 290005,437

Далі приводяться верхні межі зміни x_j і значення цільової функції при випуску продукції, що ввійшла в оптимальне рішення на верхніх межах.

На цьому ми закінчуємо опис звітів аналізу оптимального рішення.

Лабораторна робота № 8
«Оптимізація виробничої програми молочного заводу»

Задача. У табл. 8.1 дані асортимент виробів, що випускаються в розрізі основних показників роботи підприємства. Побудувати модель оптимальної річної програми підприємства в загальному, табличному та аналітичному вигляді за критерієм оптимізації – максимум прибутку.

Розрахувати обсяг ресурсів на свій асортимент, який задається варіантом. Побудувати матрицю коефіцієнтів. Виконати розв’язання задачі на ПК. Виконати економічний аналіз отриманих результатів.

Таблиця 8.1

Вихідні дані для оптимізації молочного виробництва

Товарна продукція (план) – 50000 тис грн.

Варіант визначається за допомогою табл. 8.2. Вибір варіанту визначається за завданням викладача. Варіант задається чотирма цифрами, якими позначено номери асортименту виробів, на основі яких студент буде будувати свою модель.

Таблиця 8.2

Врахувати обсяг ресурсів на свій асортимент (табл. 8.3).

Таблиця 8..

Для виконання роботи потрібно обрати асортимент продукції для оптимізації. Після цього потрібно обрати мету рішення задачі на основі якої буде будуватись функція цілі. Функцією цілі може бути максимізація вартості або кількості виробленої продукції або загального прибутку від виробництва або мінімізація витрат на виробництво продукції. Для побудови задачі також потрібно обрати ресурси за якими будуть будуватись обмеження і визначити максимальний можливий річний запас цього ресурсу на підприємстві. У вигляді ресурсів можна розглядати потужність, сировину, основні види матеріалів, фонд зарплати, фонд часу роботи обладнання або робочих, трудомісткість виконаних робіт тощо. В моделі потрібно враховувати також обмеження за попитом.

Для побудування моделі асортиментної задачі введемо наступні умовні позначення:

і – індекс виду продукції;

і = 1, 2, ... , n – кількість видів продукції;

Х_і – оптимальний випуск продукції і-того виду;

а_ij – норма витрат і-того виду ресурсу на одиницю j-того виду продукції;

А_і – обсяг запасів ресурсу (молока);

j – індекс виду провідного обладнання;

j = 1, 2, ... , m – кількість одиниць провідного обладнання;

b _ij – потужність обладнання j-го виду для і-го виду продукції;

В_j – потужність обладнання j-го виду за плановий період (рік);

– відповідно верхня і нижня межа попиту на продукцію і-го виду;

p_{j –} питомий прибуток від реалізації одиниці продукції і-го виду;

С_і – питома собівартість і-го виду продукції;

С – собівартість продукції звітного чи планового року;

S_і – оптово-відпускна ціна одиниці продукції і-го виду (діюча);

S – вартість порівняльної товарної продукції звітного чи планового року.

R_і – розцінка виробітку 1т, і-го виду продукції, грн.;

R – фонд оплати праці робочих-відрядників.

Робоча модель

1. Функція цілі – максимуми прибутку:

Обмеження:

1. По провідному обладнанню:

2. По випуску товарної продукції:

3. По попиту на окремі види продукції

4. По фонду оплати праці робочих:

5. По собівартості продукції:

6. Умови невід’ємності змінних:

x_j ³ 0 , j = 1, 2, ..., n.

Отримані результати від оптимізації виробничої програми записуємо в таблицю 8.4.

Таблиця 8.4

Розрахунок моделі виконують за порядком, наведеним у лабораторній роботі № 7. У висновку треба описати як оптимізація дозволила поліпшити основні економічні показники, наведені в таблиці 8.4.

Лабораторна робота № 9
«Оптимізація виробничої програми ковбасного виробництва»

Задача

У табл. 9.1 дані асортимент виробів, що випускаються в розрізі основних показників роботи підприємства.

Побудувати модель оптимальної річної програми підприємства в загальному, табличному та аналітичному вигляді за критерієм оптимізації – максимум прибутку.

Розрахувати обсяг ресурсів на свій асортимент, який задається варіантом.

Побудувати матрицю коефіцієнтів.

Виконати розв’язання задачі на ПК.

Виконати економічний аналіз отриманих результатів.

Таблиця 9.1

Вихідні дані для оптимізації ковбасного виробництва

Варіант визначається за допомогою табл. 9.2. Варіант задається чотирма цифрами, якими позначено номери асортименту виробів, на основі яких студент буде будувати свою модель.

Врахувати обсяг ресурсів на свій асортимент. Наявність на підприємстві ресурсів така: яловичини – 2000 т; свинини – 750 т; загальна трудомісткість – 190000 люд-год.; час роботи обладнання – 20000 год. на рік.

Таблиця 9.2