Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:
(31)
1. Нехай
(32)
де – многочлен степеня п. Тоді частинний розв’язок рівняння (31) потрібно шукати у вигляді
(33)
де – многочлен того ж степеня п, як і а – число коренів характеристичного рівняння (31), які дорівнюють .
Приклад 1.Розв’язати рівняння ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image353.gif)
Характеристичне рівняння має такі корені: і Отже, загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння буде таким: . Оскільки, , тоді . У цьому випадку частинний розв’язок даного рівняння шукаємо в такому вигляді: . Після підстановки його в рівняння отримуємо: Прирівнюючи коефіцієнти за однакових степенів х ліворуч і праворуч рівності
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image371.gif)
знаходимо: і Тоді і загальний розв’язок даного рівняння має вигляд: ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image379.gif)
2. Нехай
(34)
де – многочлен степеня т. Тоді частинний розв’язок рівняння (31) потрібно шукати у вигляді
(35)
де і – многочлени степені , – число коренів характеристичного рівняння (31), які дорівнюють ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image394.gif)
Приклад 2. Розв’язати рівняння яке описує вимушені коливання (наприклад, підвішеного на пружині вантажу) під дією зовнішньої періодичної сили з частотою і амплітудою а (опором середовища нехтуємо). - частота вільних коливань у системі (наприклад, вантажу).
Розглянемо такі випадки:
1. .
Характеристичне рівняння має комплексно спряжені корені і , і загальний розв’язок вихідного рівняння визначається за формулою: (вільні коливання в системі). Частинний розв’язок шукаємо у вигляді: . У результаті, після підстановки в рівняння, маємо: і (коливання в системі під дією зовнішньої сили). Загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:
.
Як бачимо, результуюче коливання в системі – це складний коливальний рух (суперпозиція двох коливань з різними частотами).
2. .
У цьому випадку частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді: . Після його підстановки в рівняння знаходимо невідомі коефіцієнти: і . Отже, , і загальний розв’язок вихідного рівняння має такий вигляд:
.
Як бачимо, в системі відбувається складний коливальний рух, який є результатом додавання двох коливань з однаковими частотами. Звертає на себе увагу той факт, що амплітуда цього коливального руху необмежено зростає з часом (за рахунок наявності множника у третьому доданку). .це явище називається резонансом. Воно може призводити до руйнування коливальної системи.
Приклад 3. Знайти загальний розв’язок системи рівнянь:
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image436.gif)
Одним з основних методів знаходження розв’язку системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами є метод виключення невідомих. За допомогою цього методу дана система зводиться до одного диференціального рівняння другого порядку відносно однієї невідомої функції.
Продиференціюємо перше рівняння з системи рівнянь по х: . Підставляючи сюди вираз з другого рівняння системи та замінивши функцію z її виразом з першого рівняння, отримуємо лінійне однорідне рівняння другого порядку відносно однієї невідомої функції у: . Загальним розв’язком цього рівняння є функція: . Далі продиференціюємо функцію у по х і підставимо вирази для у та в перше рівняння системи. У результаті маємо шукану функцію z: .
Завдання для самостійної роботи
1. .
2. .
3. .
4. .
У наступних рівняннях знайдіть: 1) загальні розв’язки рівнянь; 2) частинні розв’язки за початковою умовою ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image458.gif)
5. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image460.gif)
Знайдіть загальні розв’язки рівнянь:
7. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image462.gif)
9. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image464.gif)
Знайдіть частинні розв’язки рівнянь, які задовольняють вказаним початковим умовам:
10. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image466.gif)
11. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image468.gif)
12. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image470.gif)
13. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image472.gif)
Знайдіть загальний розв’язок рівнянь:
14. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image474.gif)
17. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image476.gif)
Перевірте, чи будуть вказані функції загальними розв’язками рівнянь:
20. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image478.gif)
21. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image480.gif)
22. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image482.gif)
Розв’яжіть рівняння:
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image484.gif)
33. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image486.gif)
34. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image488.gif)
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image490.gif)
38. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image492.gif)
41. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image494.gif)
44. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image496.gif)
46. ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image498.gif)
Розв’яжіть системи рівнянь:
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695613282121.files/image500.gif)
|