Інтервальні оцінки невідомих параметрів розподілу

Поняття довірчого інтервалу. Довірчий інтервал для невідомої ймовірності у схемі Бернуллі. При реалізації вибірки в кожному конкретному випадку значення оцінки може відрізнятись від оцінюваного параметра, тому необхідно знати похибку, яку ми допускаємо при заміні невідомого параметра його оцінкою. Тобто, в багатьох випадках важливо знати не тільки оцінку невідомого параметра , але знати і область , що містить в собі значення параметра . Така область будується за статистичними даними і змінюється від вибірки до вибірки, тому є випадковою. Отже можна говорити про ймовірність того, що дана область містить невідомий параметр. Якщо існує область , яка з ймовірністю, що не менше , містить невідомий параметр , то область називають довірчою областю, а число називають надійністю (і воно має бути близьким до одиниці). Якщо параметр одновимірний, то для параметра знаходять довірчий інтервал, який задається двома статистичними оцінками, що є кінцями інтервалу. В цьому випадку говорять про інтервальне оцінювання.

Розглянемо дві оцінки і невідомого параметра і розглянемо інтервал , де . Нехай , тобто , тоді називається надійністюоцінки, а інтервал – надійнимабо довірчимінтервалом, який з надійністю оцінює невідомий параметр ( -довірчим інтервалом).

Для забезпечення однозначності визначення довірчого інтервалу , межі інтервалу і вибирають так, щоб виконувались умови .

Якщо , то в цьому випадку називається точністю оцінки. Виберемо так, щоб . Тоді інтервал

буде довірчим інтервалом, який із надійністю оцінює невідомий параметр . Точність оцінки залежить від надійності і обсягу вибірки .

Розглянемо один із методів знаходження інтервальних оцінок за допомогою емпіричної функції розподілу. Нехай досліджувана величина має функцію розподілу і існує . Покладемо

.

Тоді оцінка (5)

є незміщеною і сильно спроможною оцінкою параметра . Із (7) випливає, що величина

,

де , асимптотично нормальна (0,1). Тому

,

де – функція Лапласа.

По надійності можна знайти таке число , щоб . Тоді при великих приблизно з ймовірністю буде виконуватись нерівність або

. (12)

Побудована інтервальна оцінка параметра є незручною, бо містить величину , яка може бути невідомою. Але при великих

.

Замінимо в (12) на . Тоді знову при великих приблизно з ймовірністю буде виконуватись нерівність

. (13)

Подібний метод ми уже використовували при оцінці ймовірності в схемі Бернуллі (розділ 2). Знайдемо тепер довірчий інтервал для невідомої ймовірності у схемі Бернуллі. Із теореми Бореля випливає, що оцінка (відносна частота події , а , де – число появ події в му експерименті) є сильно спроможною і незміщеною оцінкою параметра . Оскільки , а , то величина за ценральною граничною теоремою при великих має розподіл близький до стандартного нормального закону, тобто . Задамо надійність близьку до 1 і знайдемо із рівняння . Тоді при великих із надійністю, що близька до , виконується нерівність або

. (14)

Якщо розв’яжемо нерівність (14) відносно , то одержимо

.

Якщо, аналогічно переходу від (12) до (13), у лівій і правій частинах нерівності (14) замінити на , то одержимо більш простий вигляд довірчого інтервалу для невідомої ймовірності:

. (15)

Якщо врахувати, що , то із ймовірністю, що близька до , при великих виконується нерівність

.

Але остання оцінка є досить грубою. Частіше використовують інтервал у вигляді (15). У цьому інтервалі величина є точність оцінки невідомої ймовірності із надійністю .

Довірчі інтервали для параметрів нормального розподілу. Щільність нормального розподілу з параметрами і має вигляд: , де , .

Розглянемо окремі випадки знаходження довірчих інтервалів для параметрів і . Для цього використаємо наступну теорему, яку ми приймемо без доведення.

Теорема. Нехай випадкові величини – незалежні і нормально розподілені з параметрами . Тоді вибіркова середня і вибіркова дисперсія незалежні і величини мають розподіл з ( ) ступенями вільності.

а) Знайдемо довірчі інтервали для невідомого метематичного сподівання , коли – відоме. За оцінку невідомого математичного сподівання виберемо . Оскільки , де – нормально розподілені випадкові величини, то є також номально розподіленою величиною із параметрами і . Тому величина буде мати стандартний нормальний розподіл і . За надійністю можна знайти як розв’язок рівняння . Тоді із надійністю буде виконуватись нерівність або

,

де величина

є точністю оцінки.

Тобто, довірчий інтервал, який із надійністю оцінює невідоме метематичне сподівання , коли – відоме, має вигляд

,

де число знаходиться із рівняння .

б) Нехай – невідоме. Величина є незміщеною і спроможною оцінкою для . Тоді величина має стандартний нормальний розподіл, а за наведеною теоремою, величина буде мати розподіл із ступенями вільності, при цьому, ці величини є незалежними. Тому величина буде мати розподіл Стьюдента із ступенями вільності ( – виправлене середнє квадратичне відхилення).

Якщо надійність задана, то за розподілом Стьюдента можна знайти таке число , яке задовольняє умову . Тоді із надійністю буде виконуватись нерівність або

,

де

– точність оцінки.

Тобто, довірчий інтервал, який із надійністю оцінює невідоме метематичне сподівання , коли – невідоме, має вигляд

,

де число знаходиться за надійністю і числом ступенів вільності ( ) за розподілом Стьюдента із умови .

в) Довірчі інтервали для невідомої дисперсії . Якщо відоме, то оцінкою дисперсії є величина . Оскільки величини мають стандартний нормальний розподіл, то величина має розподіл з ступенями вільності ( ). При заданій надійності за розподілом можна знайти такі числа і , щоб виконувались умови і . Тоді із надійністю буде виконуватись нерівність або .

Отже, довірчий інтервал, який із надійністю оцінює невідому дисперсію , коли – відоме, має вигляд

,

де числа і вибираються так, щоб виконувались умови і .

Нехай – невідоме. Тоді величина є оцінкою для . За теоремою (стор. 150), величина має розподіл . При заданій надійності за розподілом можна знайти такі числа і , щоб виконувались умови і . Тоді із надійністю буде виконуватись нерівність або .

Отже, довірчий інтервал, який із надійністю оцінює невідому дисперсію , коли – невідоме, має вигляд

,

де числа і вибираються так, щоб виконувались умови і .